【研究分野】解析学基礎

【研究領域課題番号】25287015 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

ポテンシャル / 調和 / 容量 / Green核 / 熱核 / Harnack原理 / ネットワーク / フラクタル / 擬等角写像 / Sierpinski gasket / varifold / 解析学 / 関数論 / 関数方程式論 / 確率論 / 幾何学 / グラフ / Brown運動 / レブナー鎖 / 変分公式 / Riemann面 / 境界Harnack原理 / 双曲空間 / 乗数イデアル / Harnack不等式 / 除去可能特異点 / 平均曲率流 / 非線形ネットワーク / Sierpinski carpet / 擬等角変形空間 / ガウス写像 / 熱半群

【研究成果の概要】

調和関数や熱方程式解，Green核，熱核と定義領域の関係や空間複雑性の境界挙動への影響を研究し，ユークリッド空間の複雑領域，多様体，バリフォールド，ネットワーク，フラクタルなど様々な分野に応用した．とくに，除外集合を許したHarnack原理，最小固有値の容量的幅による評価，大域的境界Harnack原理のGreenレベル集合の容量的幅による十分条件，放物型境界Harnack原理（Intrinsic Ultracontractivity）に対応する条件，グラフ領域が大域的境界Harnack原理をみたす臨界連続率，無限における容量密度の極限の0-1法則などに新しい結果を得た．

【研究種目】基盤研究(B)

【研究期間】2013-04-01 - 2017-03-31

【配分額】13,910千円 (直接経費: 10,700千円、間接経費: 3,210千円)

【研究分野】数学一般(含確率論・統計数学)

【研究領域課題番号】23340025 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

フラクタル / 解析学 / 確率論 / 力学系 / ラプラシアン / 熱核

【研究成果の概要】

本研究においては、フラクタル集合を、その構造に注目し、解析学・幾何学・代数学にわたる広い視点から考察した。特に、フラクタル的な構造をもつ物体の上の波や熱伝導などの物理現象の数学的モデルとして、フラクタル上の確率過程論・ポテンシャル論について、例えば熱の時間的広がりと空間的広がりが分かるための一般的な条件を明らかにした。さらに、空間に無限個の穴がある場合の、平衡状態での熱の分布に関して、その解析学的な性質を考察し、熱分布が滑らかであるための条件を得た。

【研究種目】基盤研究(B)

【研究期間】2011-04-01 - 2014-03-31

【配分額】18,590千円 (直接経費: 14,300千円、間接経費: 4,290千円)

【研究分野】数学一般(含確率論・統計数学)

【研究領域課題番号】18340027 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

確率論 / 解析学 / 応用数学 / 数理物理 / フラクタル / 熱核 / 飛躍型確率過程 / 国際研究者交流 / イギリス:ドイツ:ポーランド / カナダ:アメリカ:ドイツ / カナダ:アメリカ:フランス

【研究成果の概要】

フラクタルやランダム媒質を典型例とした複雑な系の上で、熱がどのように伝導するかといった物理現象を解明するため、系の上の確率過程や対応する自己共役作用素の解析を行った.確率過程論と実解析学の手法を融合させる事により、汎用性の高い解析の方法を確立し、いくつかのモデルについて熱核の詳しい評価を与えた.また、シェルピンスキーカーペット上のブラウン運動の一意性という当該分野の20年に渡る未解決問題を、肯定的に解決する事に成功した.

【研究種目】基盤研究(B)

【研究期間】2006 - 2008

【配分額】13,570千円 (直接経費: 11,500千円、間接経費: 2,070千円)

【研究分野】数学一般(含確率論・統計数学)

【研究領域課題番号】17340026 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

フラクタル / 熱核 / 自己相似集合 / パーコレーション / 調和関数 / エネルギー測度 / タイリング / 確率論 / 力学系 / 調和解析

【研究成果の概要】

フラクタル上の解析学と幾何学の関連について、次の2つの成果を得た。
(1) 自己相似集合上の自己相似的なDirichlet formから導かれる拡散過程の熱核(確率推移密度)の漸近共同を記述するのに最適な距離の構成を行った。具体的には、Dirichlet formのresistance rationと測度から決まる自己相似集合上のscaleに関して測度がvolume doublingであることが、熱核の対角成分がLi-Yau型のsub-Gaussian評価をみたすような距離が存在するための必要十分条件であることを示した。Barlow-Bassによって構成された(高次元の)Sierpinski carpet上の拡散過程の自己相似測度に関する時間変更に対応する熱核に対してこの結果をおうようした。そして、熱核の対角成分が、Li-Yau型のsub-Gaussian評価をみたすような距離が存在るための、自己相似測度の重みに関する簡単な必要十分条件を見いだした。
(2)Sierpinski gasket上の標準的なDirichlet formに付随する測度論的なRiemannian structureの研究を行った。その結果、Riemannian volumeに対応するDirichlet formのエネルギー測度がユークリッドの距離に関してvolume doublingとなることを示たた。また、geodesic metricがharmonic Sierpinski gasket上のshortest path metricと一致することを見いだし、上の結果と合わせて、Sierpinski gasket上のブラウン運動のエネルギー測度に関する時間変更の熱核がLi-Yau型のGaussian評価をみたすことを示した。

【研究種目】基盤研究(B)

【研究期間】2005 - 2007

【配分額】16,500千円 (直接経費: 15,300千円、間接経費: 1,200千円)

【研究分野】大域解析学

【研究領域課題番号】17654039 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

熱核 / リーマン計量 / 測地線 / 確率論 / 解析学 / フラクタル / 自己相似集合 / Dirichlet形式 / ランダムウォーク

【研究成果の概要】

木上は、Sierpinski gasket上のstandard Dirichlet formに関するKusuokaの結果をもとに、Sierpinski gasket上のMeasurable Riemannian stturcutreについて研究を行った。その過程で、Kusuokaによるgradient operatorとKigamiによるhamonic Sierpinski gasket上のgradient operatorが本質的に同じものであること、Kusuoka measureがユークリッドの距離に関してvolume doublingであることを示した。
また、harmonic Sierpinski gasket上のshortest path metricがmeasurable Riemannian structureから決まる測地線距離で有ることを示した。さらにこれらの結果を組み合わせて、Kusuoka measureに対応する熱核がLi-Yau型のGaussian estimateを満たすことを証明した。
日野は、(無限分岐的なものも含む)自己相似集合上の自己相似的なDirichlet formのエネルギー測度について研究した。
エネルギー測度が自己相似測度に対して特異的になるための条件を示し、いくつかの興味ある場合に適用した。

【研究種目】萌芽研究

【研究期間】2005 - 2006

【配分額】3,400千円 (直接経費: 3,400千円)

【研究分野】数学一般(含確率論・統計数学)

【研究領域課題番号】05302012 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

確率論 / 確率解析 / マルコフ過程 / エルゴード理論 / 無限粒子系 / 流体力学極限 / 数理物理 / 数理生物 / 大偏差原理 / フラクタル / 多様体 / ウィーナー空間

【研究成果の概要】

平成5年度からの2年間にわたり、「確率論の総合的研究」をテーマに確率論およびその関連領域における諸問題に取組み、研究分担者および日本数学会確率論部門の多くの研究者の協力を得て共同研究を遂行した。まず近代確率論研究の基礎である確率解析の理論の深化を目指した2つのシンポジューム「Wiener空間上の解析学」、「確率解析」を組織した。ここでは伊藤清、福島正俊により創始された「確率解析」「Dirichlet空間の理論」の新しい展開をめざす先駆的な研究成果が数多く生み出した。また解析学・幾何学に関連する話題を中心とした「マルコフ過程に関連した解析学」「多様体上の確率解析および大偏差原理」と題するシンポジュームを解析学・幾何学の研究者を招いて開催し、そこでの討論をもとに新しい方向の研究が生まれた。物理学・生物学などの自然科学への確率解析の応用をめざして、「数理物理、数理生物における確率解析」「フラクタルとその周辺」「無限粒子系、流体力学極限とその周辺」と題するシンポジュームを開催し、物理学や生物学の研究者との研究交流で新しい諸問題を発掘した。さらに、制御理論を中心とする工学、最近注目されつつあるファイナンス理論などの数理経済学、さらには社会学への数理的アプローチにも確率解析の手法が有効であり、それらに関する諸問題を議論するためのシンポジュームとして「確率論と中心とした数理モデルの理論と実際」「確率解析の応用」を開催した。そのほかにも確率論全般にわたる最新の結果を発表・討論する場として「サマースクール」「Gauss過程,安定過程とその応用」「確率過程とその周辺」「エルゴード理論とその周辺」などの研究集会を開催し多大の成果をあげた。その成果についての詳細は研究成果報告書として出版した。

【研究種目】総合研究(A)

【研究期間】1994

【配分額】18,500千円 (直接経費: 18,500千円)