【研究分野】数学一般(含確率論・統計数学)

【研究領域課題番号】17204009 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

確率論 / 確率解析 / 確率過程 / 極限定理 / エルゴード理論 / モンテカルロ法 / 確率過程論 / 数理ファイナンス / マリアヴァン解析 / ランダム分割

【研究成果の概要】

本研究は確率論が本来持つ横断性を有機的に活用・発展させるために,様々な研究テーマの下で第一線で活躍する確率論研究者たちを分担者として,彼等の研究の総和をもって我が国の確率論研究に貢献することを目的としている.
当該研究期間内に4つの国際シンポジウムの主催・共催(確率論と数論,大規模相互作用系の析,数理ファイナンスに関するもの2つ),26の国内研究集会の主催・共催(うち毎年開催したのは,確率論サマースクール,ランダム作用素,エルゴード理論,確率論シンポジウム)に携わり,延べ285人の旅費(うち外国旅費13件)を負担した.
研究成果は多岐に渡る.例として代表者の研究成果を3つ述べる.(1)モンテカルロ法を確率的ゲーム(賭け)として定式化しコルモゴロフの乱数理論を用いることによって,モンテカルロ法におけるサンプリングの本質的な問題を明らかにした.さらにその解決のためには暗号理論における疑似乱数生成器の安全性の考えが有効であることが分かった.とくにモンテカルロ積分の場合には「ペアごとに独立なサンプリング法」が安全な疑似乱数生成器を実現していることを指摘した.(2)任意の有限体を係数に持つ2つのmonic多項式が互いに素である確率をアデール完備化を通して,拡張されたエルゴード定理を用いて計算した.(3)自然数列の代わりに独立確率変数の和の列を考えることにより,di-gamma関数のランダム化を考え,それに関する中心極限定理について研究した.これは半直線上のランダムな電荷分布の作るポテンシャルの揺らぎに関する結果と見ることができる.

【研究種目】基盤研究(A)

【研究期間】2005 - 2007

【配分額】47,710千円 (直接経費: 36,700千円、間接経費: 11,010千円)

【研究分野】数学一般(含確率論・統計数学)

【研究領域課題番号】05302012 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

確率論 / 確率解析 / マルコフ過程 / エルゴード理論 / 無限粒子系 / 流体力学極限 / 数理物理 / 数理生物 / 大偏差原理 / フラクタル / 多様体 / ウィーナー空間

【研究成果の概要】

平成5年度からの2年間にわたり、「確率論の総合的研究」をテーマに確率論およびその関連領域における諸問題に取組み、研究分担者および日本数学会確率論部門の多くの研究者の協力を得て共同研究を遂行した。まず近代確率論研究の基礎である確率解析の理論の深化を目指した2つのシンポジューム「Wiener空間上の解析学」、「確率解析」を組織した。ここでは伊藤清、福島正俊により創始された「確率解析」「Dirichlet空間の理論」の新しい展開をめざす先駆的な研究成果が数多く生み出した。また解析学・幾何学に関連する話題を中心とした「マルコフ過程に関連した解析学」「多様体上の確率解析および大偏差原理」と題するシンポジュームを解析学・幾何学の研究者を招いて開催し、そこでの討論をもとに新しい方向の研究が生まれた。物理学・生物学などの自然科学への確率解析の応用をめざして、「数理物理、数理生物における確率解析」「フラクタルとその周辺」「無限粒子系、流体力学極限とその周辺」と題するシンポジュームを開催し、物理学や生物学の研究者との研究交流で新しい諸問題を発掘した。さらに、制御理論を中心とする工学、最近注目されつつあるファイナンス理論などの数理経済学、さらには社会学への数理的アプローチにも確率解析の手法が有効であり、それらに関する諸問題を議論するためのシンポジュームとして「確率論と中心とした数理モデルの理論と実際」「確率解析の応用」を開催した。そのほかにも確率論全般にわたる最新の結果を発表・討論する場として「サマースクール」「Gauss過程,安定過程とその応用」「確率過程とその周辺」「エルゴード理論とその周辺」などの研究集会を開催し多大の成果をあげた。その成果についての詳細は研究成果報告書として出版した。

【研究種目】総合研究(A)

【研究期間】1994

【配分額】18,500千円 (直接経費: 18,500千円)

【研究分野】数学一般

【研究領域課題番号】62540159 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

偶然現象 / カオス的現象 / 確率論 / エルゴード理論 / 力学系 / 統計力学の数学的基礎 / 微分方程式

【研究成果の概要】

偶然現象とカオス的現象を, 確立論, 関数解析学, 微分方程式論, 位相幾何学, 代数学, 数理統計学, 数値解析などの種々の手法を用いてその数学的側面を研究した. またこれらの研究の統計力学, 生物物理学への応用の成果も得られた. これらの成果を得るについては, 他大学の研究者との研究連絡に負う所が多大であった.
具体的には, 1.偶然現象の時間発展を記述する保測変換について, 時間をそろえて同型問題に手がかりが得られた. これはこの分野における新しい問題定期だと思われる. 2.気体力学において基本的なボルツマン方程式の導出は数学的な厳密さがなく問題であったが, 剛体球の場合に古典力学から出発し, リュービル方程式, BBGKY階層の考え方を用いて, ボルツマン方程式の導出の数学的正当化に成功した. これは統計力学の数学的基礎についての大きい貢献であると思われる. 3.一次元格子上の無限粒子系の排他的なランダムウォークについて定常分布を求めた. 4.生態学における個体数の問題に関連するある半線型偏微分方程式の境界値問題の解の存在を示し, その力学系としての性質を調べた. 5.ある種の非線型常微分方程式の解の大域的な漸近挙動を調べた. 6.いくつかの重要な確率分布についてその漸近展開の誤差の中の評価を行った.
その他, 確率論, 微分方程式論, 関数解析学, 数理統計学, 数値解析, 位相幾何学, 代数学などの分野における手法を用いる研究において, 本研究の分担者は一定の成果を得ている.

【研究種目】一般研究(C)

【研究期間】1987

【配分額】1,400千円 (直接経費: 1,400千円)