【研究分野】解析学基礎

【研究領域課題番号】17H01093 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

確率論 / 複雑系 / 数理物理 / 解析学 / ポテンシャル論 / 統計力学

【研究成果の概要】

１。熊谷とCroydonは、Barlow氏と共同で二次元一様全域木の上のランダムウォークの熱核評価に現れる振動等の詳細な性質を調べ、さらに熱核のannealedの評価における非対角部分の指数がquenchedのそれと異なることを解明した。熊谷はまた、拡散項とジャンプ項からなる一般の対称確率過程について、対応する熱方程式の解が放物型ハルナック不等式や精密な熱核評価を持つための必要十分条件を導き出した。本研究は、対称拡散過程や飛躍型確率過程の場合に進められてきた安定性理論の統一版であると言える。この結果は、Z.Q. Chen氏とJ. Wang氏との共著論文にまとめ、2020年度に雑誌に掲載された。
２。木上は、自己相似集合の Ahlfors regular conformal dimensionと対応する無限グラフの parabolic index の関係および自己相似集合上への p-energy の構成について研究し、parabolic index とAhlfors regular conformal dimensionの間の不等式などを示した。
３。相川は、intrinsic ultracontractivity の研究を応用して、Lipschitz領域やJohn領域をベースにするシリンダー上の熱方程式の優解の可積分性を与えた。これは正値優調和関数の可積分性に関する結果の放物型拡張である。
４。福島はS. Junk氏と共同で，ランダム媒質中の向きづけられた高分子模型の零温度極限の研究を行い、自由エネルギーの連続性を示した。舟木は、Glauber-零レンジ過程から平均曲率運動の導出を行った。これは非線形な拡散項を経由するため偏微分方程式の観点からも新しい結果である。

【研究種目】基盤研究(A)

【研究期間】2017-04-01 - 2022-03-31

【配分額】43,810千円 (直接経費: 33,700千円、間接経費: 10,110千円)

【研究分野】解析学基礎

【研究領域課題番号】25247007 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

確率論 / 数理物理 / 解析学 / 複雑系 / 統計力学 / 熱方程式 / 国際研究者交流 / イギリス：カナダ：アメリカ：フランス：中国 / イギリス：カナダ：アメリカ：フランス / イギリス：カナダ：ドイツ：韓国：アメリカ

【研究成果の概要】

ランダムな媒質中のダイナミックスとそのスケール極限について、体系的に解析を行った。大きな成果としては次が挙げられる。i) 境界のあるランダムなコンダクタンス上のマルコフ連鎖について、媒質について確率１での収束定理を広い範疇で証明した。ii) ２次元一様全域木と呼ばれる、スケール極限が共形不変なモデルについて、その上のランダムウォークの部分列の収束性を示し、極限過程の熱核評価を行った。iii) 測度距離空間における飛躍型確率過程に関する熱核評価の安定性を証明した。

【研究種目】基盤研究(A)

【研究期間】2013-04-01 - 2017-03-31

【配分額】38,870千円 (直接経費: 29,900千円、間接経費: 8,970千円)

【研究分野】数学一般(含確率論・統計数学)

【研究領域課題番号】22340017 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

確率論 / 数理物理 / 解析学 / 複雑系 / 統計力学 / 飛躍型確率過程 / 国際研究者交流 / イギリス：アメリカ：カナダ：ドイツ / イギリス：アメリカ：カナダ / 英：米：ドイツ / イギリス:アメリカ:カナダ

【研究成果の概要】

確率論的手法と実解析的手法を融合的に用いることで、複雑な系の上のマルコフ連鎖とその極限過程を統一的に解析する研究を行った。一般論を展開する観点からは、cycle条件を満たす非対称なマルコフ連鎖の熱核の評価とそのスケール極限の解析、測度付き距離空間上の対称拡散過程に関する熱核の劣ガウス型評価と一般化放物型ハルナック不等式の同値性の証明、飛躍型確率過程の収束理論の構築などの成果を得た。具体例の観点からは、樹木上の臨界確率パーコレーションにバイアス付きランダムウォークを走らせた際の漸近挙動、極限過程の考察を行い、またランダムな有限グラフ上のマルコフ連鎖の混合時間のスケール極限に関する成果を得た。

【研究種目】基盤研究(B)

【研究期間】2010-04-01 - 2013-03-31

【配分額】16,770千円 (直接経費: 12,900千円、間接経費: 3,870千円)

【研究分野】物性一般(含基礎論)

【研究領域課題番号】09894009 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

非平衡 / 非線形 / 複雑系 / 輸送理論 / 熱力学 / 不可逆性 / ソルベイ会議 / 統計力学

【研究成果の概要】

本研究では、非線形力学系に関する国内国外の研究動向を調査し、平成10年度以降における我が国の非平衡統計力学の研究の方向性を探った。まず、我が国の複雑系研究の動向について、複雑系研究と要素還元主義とが相反するものであって、従来の物理学が要素還元主義に陥っているとする主張の正当性について検討した。その結果、むしろ複雑系の現象論として熱力学を拡張するような方向が望ましいのではないか、特に生物現象のように力学的基礎に立脚できない場合に熱力学に代わる現象論を今後の研究の視野にいれるべきである、との認識に到達した。
輸送理論の力学的基礎に関する研究動向を探索するために平成9年9月27日「第一回久保記念シンポジウム:統計物理学の基礎的問題」を東工大において開催した。その準備段階においてセミナーを開催した。さらに、ブリュッセル自由大学における不可逆過程の力学的基礎に関する研究動向の調査を行った(平成9年6月24日ー30日および平成9年10月28日ー11月2日)。更に、平成10年3月9日ー11日総合研究大学院大学葉山キャンパスにおいて国内の研究者を招いて、非平衡統計力学の枠を如何にして拡張して、新しい分野を切り開くか、についての検討を行った。その結果、平成10年11月に関西で予定されている「不可逆性と動力学系に関するソルベイ物理学会議」が、更に研究動向を探索し、新たな展望を切り開くよい機会となることの確信を得た。
東工大にstatphyのメーリングリストを作り、我が国の統計力学の研究動向に関する情報交換を行うシステムを確立した。

【研究種目】基盤研究(C)

【研究期間】1997

【配分額】2,000千円 (直接経費: 2,000千円)