【研究分野】数学一般(含確率論・統計数学)

【研究領域課題番号】18540125 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

ランダムシュレーディンガー作用素 / アンダーソン局在 / 局在中心 / アンダーソンモデル / 点過程 / ランダム磁場 / 無限分解可能点過程 / 確率論 / ベーテ格子 / ランダム測度

【研究成果の概要】

d次元正方格子上のランダムシュレーディンガー作用素の局在領域における固有値・固有関数の挙動を考え、(1)スペクトル全体の固有値を見れば、固有値と固有関数の直積空間において一様分布していること、(2)自然なスケーリングにおいてはポアソン分布していること、(3)より細かいスケールでは固有関数同士は互いに反発していること、を示した。また、ユークリッド空間上のランダムシュレーディンガー作用素についても、Minami's estimateと呼ばれる不等式を仮定すれば、同様の結果が成り立つことを示した。

【研究種目】基盤研究(C)

【研究期間】2006 - 2009

【配分額】3,430千円 (直接経費: 2,800千円、間接経費: 630千円)

【研究分野】数学一般(含確率論・統計数学)

【研究領域課題番号】17540100 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

準位統計 / ランダム作用素 / アンダーソンモデル / 量子カオス / ゴルトン・ワトソン樹形図 / 分枝過程 / 数理物理 / 確率論 / unfolding / Galton-Watson樹形図 / 局所極限定理

【研究成果の概要】

本研究では点過程論の立場からランダム作用素のスペクトルの統計的な揺らぎの問題に対して一般的なアプローチを試みるとともに、ランダムなシュレーディンガー作用素の準位統計について具体的な研究を行った。また、これらと並行してランダム行列のトレースのモーメント評価の問題から派生して、ランダムな樹形図に関する確率論的な研究を行った。主な研究成果は次のとおりである。
1.エネルギー準位統計において量子ハミルトニアンのスペクトルを定常点過程の典型的な実現とみなすために行われるunfoldingという手続について、その数学的な定義を定式化した。
2.差分型のランダムなシュレーディンガー作用素について、unfolding後のスペクトルがポアソン点過程の典型的なサンプルに近づくことの証明を試みた。その結果、異なる2つの区間が作用素の固有値を同時に含む確率を評価することに証明が帰着することを明らかにした。しかしながら、その確率の評価ができなかったため、証明は現在のところ未完成である。
3.離散時間分枝過程の軌跡として得られるランダムな樹形図について、子供の数がk=0,1,,,,であるような頂点の個数の分布に関する局所極限定理を証明した。
4.各頂点が、空間的位置、年齢、種別などを表す「印」(mark)を持つような樹形図の空間に確率測度を導入するための一般的な定理を証明した。

【研究種目】基盤研究(C)

【研究期間】2005 - 2007

【配分額】3,500千円 (直接経費: 3,200千円、間接経費: 300千円)