【研究分野】数学一般(含確率論・統計数学)

【研究領域課題番号】11640105 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

グラフ論 / 離散最適化 / アルゴリズム / 計算幾何 / 離散幾何 / 組み合せ幾何 / 組合せ論 / 極値グラフ理論 / 組み合わせ幾何 / 組み合わせ論 / 位相幾何的グラフ論 / 位相幾何学的グラフ論

【研究成果の概要】

グラフ論、離散最適化、計算幾何学の諸分野に渡る本研究の研究成果の概要を以下に示す。
計算幾何学の分野の直線成分の抽出問題では従来用いられてきたハフ変換の性能の限界を理論的に示し,理論的に最適な方法を提案した。画像の等高線表現では、整数格子の性質を研究し、グラフ論、離散最適化を適用した問題解決法を提案した。ディジタルハーフトーニングを数学的最適化問題として定義し,ある種の測度を基礎にした実数要素行列の整数要素行列への変換法を導入することにより、ある制約のもとで効率よく実行できるアルゴリズムの開発に成功した。
離散最適化の分野では有向グラフの一般化として双向グラフを定義し、双向グラフ上で安定集合問題の一般化を定式化した。クローフリーグラフの最大重み独立集合を求めるMintyのアルゴリズムの訂正版を提案した。離散凸解析における重要な基本問題の一つであるM-凸関数の最小化問題に対する新しい多項式時間アルゴリズムを提案した。
グラフの距離構造についてはk-辺ワイド直径はグラフの直径のk次式のオーダーであることを示した。グクフの連結度については先行の結果を含むk-可縮辺の存在を保証するより一般的な禁止部分グラフ条件を示した。5-可縮臨界グラフでは少なくともその1/5の頂点が次数5であること、6-可縮臨界グラフでは少なくともその1/7の頂点が次数6であることを示した。与えられた任意のグラフをその誘導部分グラフに含む5-可縮臨界グラフの存在を示した。
極値グラフ理論の分野では新しい擬確率的手法を開発して当該分野の基本定理であるErdos-Stoneの拡張、Bollobas-Kohayakawa予想を肯定的に解決した。グラフを同型な部分グラフで敷き詰めることができるための次数条件を述べたAlon-Yusterの定理を必ずしも同型でない部分グラフの場合に拡張し、長年未解決であったEl-Zahar予想など多くの定理、予想を近似的に含む一般的な結果を得た。

【研究種目】基盤研究(C)

【研究期間】1999 - 2001

【配分額】3,500千円 (直接経費: 3,500千円)

【研究分野】代数学

【研究領域課題番号】09440012 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

代数多様体 / アフィン空間 / ジャコビアン予想 / ホモロジー平面 / 有限グラフ / ツィスター空間 / Calabi-Yau多様体 / 位相的不変量 / 開代数曲面 / 群作用 / 組み合わせ論 / 自己同型写像 / 3次元多様体 / 平面アフィン曲線 / 次数最小埋め込み / 不変式 / 有限生成性 / アルゴリズム / Kontsevich不変量 / 強擬凸領域

【研究成果の概要】

研究代表者は研究分担者の増田佳代と協力して、アフィン空間上に作用する無限位数の自己同型写像が部分多様体を点毎に固定するとき、その自己同型写像と部分多様体の可能性を余次元が小さいときに研究した。その副産物として3次元アフィン空間の乗法群を用いた代数的特徴付けを得た。また、タタ研究所のR.V.Gurjarと協力して、ジャコビアン予想をアフィン空間からQ-ホモロジー平面に拡張して、対数的小平次元が1のときは一般化されたジャコビアン予想が成立することを示した。対数的小平次元が0,-∞のときも大半の場合に予想が成立する。この課題研究の期間において、研究代表者はこれまでの開代数曲面に関する結果をまとめた本を書き、アメリカ数学会から出版することになった。
日比孝之は有限グラフを研究し、関連して定義されるイデアルの性質を調べた。単体に付随する環のBetti数などを調べることによって、非常に豊富な情報が得られ、組み合わせ論、可環境論、代数幾何学などを結びつける強力な手法となってきている。
藤木明はHopf曲面上のツイスター空間のalgebraic reductionを研究して興味ある結果を得た。ツイスター空間は射影空間束に近いものであり、代数多様体と複素多様体の違いと相似性を明らかにできる。
並河良典は複素多様体の変形理論を使ってCalabi-Yau多様体に関する研究を進めた。また、高次元代数多様体の双有理写像として現れるflopを変形理論を通して再構成した。
村上順はThang T.Q.Le等と協力して、平行化された結び目に対するKontsevich不変量の性質を調べて、Kontsevich不変量を3次元多様体の不変量に拡張する際に重要な役割を果たす公式を得た。
柳川浩二はE.Ballicoと協力して、標数pの体上に定義されたCohen-Macaulay整域に関連して定まるPoincare列のh-vectorについて研究を行った。

【研究種目】基盤研究(B)

【研究期間】1997 - 1999

【配分額】15,200千円 (直接経費: 15,200千円)