【研究分野】数学一般(含確率論・統計数学)

【研究領域課題番号】18740042 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

組合せ最適化 / 非線形関数 / 整数計画 / 離散凸関数 / 近似解法 / アルゴリズム / マトロイド / 劣モジュラ関数 / 非線形計画 / 凸解析 / 凸関数 / 離散凸解析

【研究成果の概要】

整数計画問題とは,与えられた制約条件を満たす整数ベクトルの中から,与えられた目的関数を最小化(または最大化)する解を求める問題である.一般に整数計画問題は短時間で解くことが困難である,ということが理論的にも現実的にも知られている.とくに,目的関数と条件が非線形関数で与えられる非線形整数計画問題は,解くことが最も困難な整数計画のクラスである.本研究では,様々な非線形整数計画問題に対して,その良質な近似解を短時間で求めるアルゴリズムを提案した.

【研究種目】若手研究(B)

【研究期間】2006 - 2008

【配分額】3,760千円 (直接経費: 3,400千円、間接経費: 360千円)

【研究分野】工学基礎

【研究領域課題番号】15360043 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

凸解析 / 凸関数 / 凸集合 / マトロイド / 離散最適化 / 数理計画 / 非線形計画 / ネットワークフロー / 双対性 / 劣モジュラ関数 / アルゴリズム / 離散凸関数 / 組合せ最適化

【研究成果の概要】

本研究課題の目的は,経済学,システム工学,オペレーションズ・リサーチ,最適化理論,アルゴリズム理論などの広汎な分野における基礎的諸問題に関わる離散構造を,離散凸性という横断的視点から整理し,「離散凸」という新しいパラダイムを確立することにある.本研究課題では下記に挙げた研究成果を得ることが出来た.いずれの研究成果も査読つき国際会議や学術雑誌に採択されている.
(1)離散双対性に関わる最適化問題,とくに,M凸関数を目的関数に含む劣モジュラ流問題に対して,容量スケーリング手法に基づくアルゴリズムを提案した.一般のM凸劣モジュラ流問題に対して,このアルゴリズムはこれまでで最良の時間計算量をもつ.
(2)離散凸解析の枠組みとは独立に研究されてきたマルチモジュラー性という概念が,実質的にL凸性と等価な概念であることを示した.この結果をふまえ,整数格子点上で定義されたマルチモジュラー関数に対する離散分離定理などの諸性質を導いた.
(3)2次のM凸関数と木距離の間の密接な関係を示した.より具体的には,2次のM凸関数のヘッセ行列は実質的に木距離行列(にマイナスを掛けたもの)であることを証明した.
(4)整凸集合上の離散不動点定理を与えた.これは,数理経済学における一般均衡理論ならびに非協力ゲームへの応用をもつ.
(5)M凸関数の概念が,数理経済学で良く知られた粗代替性や単改良性と等価であることを明らかにした.
(6)離散凸解析の数理経済学への応用として,複数の不可分財と貨幣からなる市場において競争均衡が存在するための条件を与えるなどの理論構築を行うとともに,競争均衡を求めるアルゴリズムをM凸劣モジュラ流問題の枠組みを利用して開発した.

【研究種目】基盤研究(B)

【研究期間】2003 - 2005

【配分額】10,200千円 (直接経費: 10,200千円)

【研究分野】工学基礎

【研究領域課題番号】12450040 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

凸解析 / 凸関数 / 凸集合 / マトロイド / 離散最適化 / 数理計画 / 非線形計画 / ネットワークフロー / 離散凸解析 / 数理経済学 / 不可分財市場 / 競争均衡 / M凸関数最小化 / アルゴリズム

【研究成果の概要】

本研究課題の主題,研究代表者が1990年代の中頃から提唱している離散凸解析の応用開拓である.本研究課題では下記に挙げた研究成果を得ることが出来た.いずれの研究成果も査読つき国際会議や学術雑誌に採択されている.
(1)数理経済学において,離散凸解析の応用研究として3つの成果を上げた.第1の成果は,複数の不可分財と貨幣からなる市場において競争均衡が存在するための十分条件を与えるなど,理論構築を行なった.第2の成果は,離散凸解析のおいて中心的役割をなすM凸関数の新しい特徴付けを与えた.この特徴付けは,数理経済学では良く知られた粗代替性や単改良性を用いたものである.第3の成果は,先に述べた不可分財と貨幣からなる市場において,競争均衡を求めるアルゴリズムの開発である.このアルゴリズムは,離散凸解析における最適化問題の一つであるM凸劣モジュラ流問題を利用したもので,多項式時間で均衡の存在判定を行ない,均衡が存在する場合はその一つを求める.
(2)離散凸解析において中心的な役割を果たすM凸関数の最小化問題に対する近接定理を示すとともに,高速なアルゴリズムを開発した.
(3)工学システムのもつ組合せ構造を離散凸解析の立場から論じた.特に,電気回路や制御システムの取扱いを目的として,混合多項式行列を考察し,効率的な組合せ緩和アルゴリズムを提案した.
(4)オペレーションズ・リサーチの諸問題に対し,離散凸解析の結果を利用した解法が適用可能か否かを検証した.その結果を踏まえて,ネットワークデザインや最大カット問題に対して効率的な解法を提案した.

【研究種目】基盤研究(B)

【研究期間】2000 - 2002

【配分額】7,600千円 (直接経費: 7,600千円)

【研究分野】社会システム工学

【研究領域課題番号】11878069 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

組合せ最適化 / 凸解析 / アルゴリズム / 離散凸関数

【研究成果の概要】

本研究の目的は,組合せ凸解析の理論に基づいて,生産システム設計に現れる最適化問題の組合せ構造を明確にすると共に,最適な生産システムを設計するための実用的な解法を構築することである.この目的を実現するため,本年度は以下の研究を行った.
・スケーリング技法によるM凸関数最小化アルゴリズムの研究.M凸関数の最小化問題に対しては,最急降下法や領域縮小法が提案されているが,本研究においては,組合せ最適化のアルゴリズムにおいて基本的な技法であるスケーリング技法をM凸関数最小化に用いる可能性を研究した.一般にM凸関数はスケーリングに関して閉じていないが,ツリー型M凸関数や2次のM凸関数などのクラスのM凸関数がスケーリングに関して閉じていることを示すとともに,スケーリング技法と最急降下法とを組み合わせた効率的な算法を提案した.
・M凸関数の運搬経路問題への応用.時間枠制約つき運搬経路問題とは,各顧客への訪問時間枠制約をなるべく満たし,かつ運搬費用を最小にする経路及びスケジュールを求める問題である.経路決定とスケジューリングを分離するタイプのヒューリスティックにおいて,最適なスケジュールを求める問題がツリー型M凸関数の最小化問題として定式化できることを示した.
・2次のM凸関数・L凸関数の特徴付け.一般に2次の凸関数は半正定値対称行列で表現されるが,本研究では,どのような付加的条件がM凸性・L凸性を特徴づけかという問題意識をもち,この問題に対して完全な解答を与えた.その副産物として,確率過程論などで研究されてきたディリクレ形式との関連が明らかとなった.

【研究種目】萌芽的研究

【研究期間】1999 - 2000

【配分額】1,400千円 (直接経費: 1,400千円)

【研究分野】数学一般(含確率論・統計数学)

【研究領域課題番号】09874046 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

離散最適化 / 凸解析 / マトロイド / アルゴリズム / 双対定理

【研究成果の概要】

マトロイドの公理を拡張することにより,整数格子点上で定義された整数値をとる関数に対して離散凸関数とでも呼ぶべき概念が得られることが,本研究の開始時に明らかになっていた.連続世界の凸解析におけるルジャンドル変換の離散版を導入することによって,整数格子点上で定義された整数値関数に対して共役関数の概念が定義され,これによって,離散凸関数はM凸性,L凸性といういわば表と裏(数理計画の用語ではprimalとdual)の姿をもつ,M凸性は交換公理の拡張により,また,L凸性は劣モジュラ性の拡張により特徴付けられる.本研究では,以下の結果を得た.
1.L凸集合の多面体的な特徴付けを与えた.とくに,L凸集合が三角不等式を満たす距離関数と同等であることを示した.これは,M凸集合が劣モジュラ不等式を満たす集合関数と同等であるという(既知の)事実に対応する結果である.
M凸関数の実効定義域は基多面体であるが,これを,一般化ポリマトロイドの場合に定式化し直したものはM^〓凸関数と呼ばれる(M凸関数の射影がM^〓凸関数である).これに共役な操作(制限)をL凸関数に施したものをL^〓凸関数と名付け,その性質を調べた.これによって,従来の関連研究との関係が明らかとなった.とくに,L^〓凸関数がFavati-Tardellaによる整凸関数に一致すること,離散中点凸性により特徴付けられることを示した.
3.M凸関数,L凸関数に関する離散双対定理の原証明は,M凸関数に対して構成的に最適双対変数を与え,L凸関数に対してはその共役をとるという形であった.本研究では,M凸関数とL凸関数に関して,独立に多面体的な別証明を見いだした.その結果,整多面体と離散凸関数の関係が明確になった.

【研究種目】萌芽的研究

【研究期間】1997

【配分額】1,000千円 (直接経費: 1,000千円)