【研究分野】基礎解析学

【研究領域課題番号】17540147 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

層の超局所理論 / 擬微分方程式 / 無限階微分方程式 / 演算子法 / 畳込み方程式 / 微分・差分方程式 / 偏微分方程式 / 代数解析学 / 非局所微分方程式 / 擬微分作用素

【研究成果の概要】

本科学研究費による研究は交付申請書および研究計画書に記載した以下の3つの目標に従って進められた:
[1]非局所擬微分方程式の層の超局所解析的研究。
[2]解の構成と演算子法、および解空間の研究。
[3]非局所擬微分方程式論による微分差分方程式の代数解析的研究。
先ず[1]については、局所擬微分作用素の一般理論を、ファイバーバンドル上の導来圏における佐藤・Fourier変換を底空間にずれを持つ場合に拡張し、これを複素多様体上の余接バンドル上の正則微分形式に対して適用することによって非局所擬微分作用素の複体を得、そのコホモロジーをとることで非局所擬微分作用素の層を定義した。このように関手的に考えることにより非局所擬微分作用素同士の合成を自然に定式化できた。さらに、非局所微分作用素の議論を更にすすめ、1点における正則関数の茎に作用する擬微分作用素を定式化することができた。具体的にはその表象の、整関数としての指数型が、点が考えている点に近づくとともに0に近づくような無限階擬微分作用素として特徴づけられるが、このような作用素のファイバー方向への超局所化を考えることにより、上記と同様の議論を経て、1点における無限階擬微分作用素を定義した。
さらに、[2],[3]については、引き続き研究中である。
本研究ではこれら以外に、プロクシメイト指数とセミノルムに関する整函数の空間に作用する連続線型作用素を、無限階微分作用素として特徴付けることができた。これは、研究代表者による、正則函数の層の連続自己準同型の、局所無限階微分作用素による特徴付けに対する結果であり、大域的な場合にも同様の特徴付けが成り立つことを示したものである。

【研究種目】基盤研究(C)

【研究期間】2005 - 2006

【配分額】3,400千円 (直接経費: 3,400千円)

【研究分野】基礎解析学

【研究領域課題番号】15540155 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

代数解析学 / 微分・差分方程式 / 擬微分方程式 / 無限階微分方程式 / 偏微分方程式 / 畳込み方程式 / 層の超局所理論 / コーシー問題

【研究成果の概要】

本科学研究費による研究は交付申請書および研究計画書に記載した以下の3つの目標に従って進められた:
[1]複素領域における非局所擬微分方程式論の代数解析的研究。
[2]正則関数解の構成と演算子法の研究。
[3]複素領域における無限階微分差分方程式の代数解析的研究。
このうち[1]については、1点における正則関数の芽に作用する非局所擬微分作用素のクラスをコホモロジーを用いて定式化し、それらの間の合成、関数への作用を定めることができた。さらに、非局所擬微分作用素を層の超局所理論、具体的にはFourier-Sato変換を用いて定式化し、それらの間の合成を関手的に証明した。これらの結果はそれぞれ論文にまとめているところである。さらに、[2]では正則解の構成方法において形式的部分のみに先ず注目し、形式的に作用素の逆作用素を定めることができるが、定数係数の場合に形式的逆作用素による解が具体的に構成できることが証明できた。これは複素領域の擬微分方程式の特殊階を与える演算子法の公式と考えることができる。さらに、特に有限階の場合に一般解を考える為に、対応する斉次方程式を正則関数に対して考察し、その解空間の生成元(generator)を具体的に得ることができた。最後に[3]については、[2]で得られた演算子法公式を用いて、定数係数の無限階微分差分方程式に対し、その特殊解を与える方法をより簡明に与えることができた。これらの結果をExistence and continuation of the non-local differential equations of infinite ordreというタイトルで現在投稿中である。
[2]については、さらに、一般の変数係数の場合の非局所擬微分方程式の正則解を積分公式として具体的に与えることを現在引き続き研究中である。

【研究種目】基盤研究(C)

【研究期間】2003 - 2004

【配分額】3,300千円 (直接経費: 3,300千円)

【研究分野】基礎解析学

【研究領域課題番号】13640154 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

代数解析学 / 擬微分方程式 / 無限階微分方程式 / 偏微分方程式 / 層の超局所理論 / 微分・差分方程式 / 畳込み方程式 / コーシー問題

【研究成果の概要】

本科学研究費による研究は、交付申請書に書いた以下の3つの具体的研究目標を中心として行われた。すなわち[1]申請者による、複素領域における超局所微分方程式に対するコーシー問題の層論的研究を、擬微分方程式系のコーシー問題へと一般化すること。[2]正則関数の層の自己準同型の無限階微分作用素による特徴付けを、準同型の連続性を用いずに研究すること。[3]申請者と分担者岡田による、複素領域における単独畳込み方程式の解の存在と解析接続に関する研究を、代数解析的手法を用いることにより、連立方程式の場合に拡張すること。
[2]については未だ解決に至っておらず、来年度以降の研究に継続中である。[3]と[1]について直接の解答を得るには至らなかったが、そのかわりに初年度の科学研究費による研究で、微分・差分作用素を含むようなクラスとしての非局所的な擬微分作用素のクラスをコホモロジー的に自然な形で定義することができ、さらにそれらについて合成、正則関数への作用を自然に定義し、また対応する表象のクラスを定義し、作用素と表象との1:1対応を与える公式を具体的な積分公式として与えることができた。さらに次年度の科学研究費による研究では、このクラスの作用素に対する特性集合を自然に定義し、ある種の条件の下で可逆性定理を証明することができた。またさらにこの理論を用いて、現在非局所擬微分方程式に対し、正則解の構成、解の解析接続について研究中である。

【研究種目】基盤研究(C)

【研究期間】2001 - 2002

【配分額】3,800千円 (直接経費: 3,800千円)

【研究分野】基礎解析学

【研究領域課題番号】11640153 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

代数解析学 / 合成積方程式 / 擬微分方程式 / 偏微分方程式 / 無限階微分方程式 / 層の超局所理論 / コーシー問題 / 畳込み方程式 / 代数解析

【研究成果の概要】

本科学研究費による研究は、交付申請書に書いた3つのテーマ:[1]複素領域における合成積方程式系の、層の超局所理論を用いた代数解析的研究。[2]合成積方程式に対する解の解析接続の研究を応用したFabry-Ehrenpreis-河合のギャップ定理の精密化の研究。[3]複素領域における超局微分方程式系のコーシー問題の研究の、擬微分方程式系への拡張、を中心として行われた。
これらのうち[1][2]については、分担者岡田との共同研究により、従来より懸案であった、楕円型条件を満たす合成積作用素のよい例を多変数の場合に構成することができた。また、複素領域における斉次合成積方程式の正則関数解の解析接続問題を、方程式の特性集合を定数係数線型偏微分方程式の場合の自然な一般化となるように導入した上で、解が一斉に解析接続される領域を特性集合によって記述することができた。これにより特に、線型の関数微分方程式の重要な例である無限階の微分・差分方程式に対する正則解の解析接続問題は、ある意味でほぼ完全に解けたことになる。更に、管状領域の場合に、自然な条件の下で、特性集合の定義が通常の偏微分方程式の場合のようにシンボルの零点の無限遠での集積方向と一致することを証明した。[3]についてはまだ決定的な解決には至らず、来年度以降の研究に継続中である。しかしごく最近、帰納極限を用いた層の理論が柏原-Schapiraによって開発され、発展中であるが、これは報告者による複素領域における超局微分方程式系のコーシー問題の研究をより一般的な枠組みで理解することを可能とするものであり、現在この理論を取り入れて擬微分方程式系への拡張を目指している

【研究種目】基盤研究(C)

【研究期間】1999 - 2000

【配分額】3,400千円 (直接経費: 3,400千円)

【研究分野】解析学

【研究領域課題番号】09640155 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

代数解析 / 擬微分方程式 / 畳込み方程式 / 無限階微分方程式 / 偏微分方程式 / 微分差合方程式 / 超局所解析 / 解析接続 / 合成積方程式 / 微分・差分方程式 / 非特性コ-シ-問題 / 層の超局所理論

【研究成果の概要】

本科学研究費による研究では、交付申請書に書いた2つのテーマ:[1]正則函数に対する擬微分方程式系の非特性コーシー問題の、導来圏における定式化と解、[2]複素領域における無限階(擬)微分方程式系に対する「基本原理」、のうち[1]について、柏原-Schapiraによる擬微分作用素の正則函数への作用を用い、超局所方向pにおけるCauchy-Kowalevskayaの定理を圏D^b(X;p)における準同型として定式化し、それが同型射であることを証明することができた。これについては、本科学研究費により当該分野の国際的権威であるパリ第6大学のP.Schapira教授を報告者の大学に招聘し、研究討論を行うとともに、代表者および分担者の研究方向に対する多くの示唆を得たことの寄与するところが大きい。さらに、[2]については、複素領域における畳込み方程式の正則函数解の接続についての研究を行い、作用素の特性集合を微分方程式の場合の自然な拡張となるように定義し、それで決まる方向への解の接続性を証明した。また無限階の微分を許す微分・差分方程式への応用を行い、方程式の特性集合を具体的に与えた。更に、任意に与えた方向の集合を特性集合に持つような、畳込み方程式の具体例を構成した。
本研究では更に、非自励的関数偏微分方程式の安定性理論・概周期解の存在、第2超局所双曲型擬微分作用素に関する研究、大きなパラメータを含む3階線型常微分方程式のストークス幾何の決定に関する研究、たGrothendieck residueの値や双対性を計算するアルゴリズムの研究等に、様々な成果を得ることができた。

【研究種目】基盤研究(C)

【研究期間】1997 - 1998

【配分額】2,600千円 (直接経費: 2,600千円)