【研究分野】基礎解析学

【研究領域課題番号】22540203 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

関数方程式 / パターン形成 / 変分問題 / 非線形楕円型方程式 / 特異摂動問題 / 楕円型作用素の固有値 / 非線形楕円型固有値問題 / 逆問題 / 解析学 / 非線形現象

【研究成果の概要】

環境効果の入ったアレン・カーン型方程式や飽和効果をもつケモタキシス系などのパターン形成問題において、対応する非線形反応・拡散偏微分方程式を解析し、非一様定常パターンの数学的に厳密な存在証明を行った。

【研究種目】基盤研究(C)

【研究期間】2010 - 2012

【配分額】3,250千円 (直接経費: 2,500千円、間接経費: 750千円)

【研究分野】解析学

【研究領域課題番号】07404003 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

数理物理 / 偏微分方程式 / トモグラフィ / 超函数 / 逆問題 / トモゲラフィ / 複素モーメント問題 / パターン形成 / 非線型非平衡系 / 有限要素法 / セレンディピティ要素 / 双曲型逆問題 / カルレマン評価 / ウェーブレット / 乱流

【研究成果の概要】

偏微分方程式の基礎理論の研究においては,ジェブレイ級の解の接続問題において,接続可能性を方程式の特性帯の重複度とジェブレイ指数に関連付けた新しい結果を得た.
解の漸近挙動・スペクトルの研究では,定数係数線型偏微分方程式が劣指数的増大度の解を持つための条件を追求し,リウビユの定理の拡張を得た.また,枯草菌のコロニーパターン形成過程の数理モデルを提出し,計算機によるシミュレーションにより2次元パターンを再現し,それが相転移的メカニズムで起こることを明らかにした.
さまざまな逆問題の研究では,双曲型方程式に対する逆問題の一意性を係数の正則性を弱めた形で導き,逆問題のリプシッツ安定性を最も望ましい形で示した.また,密度一定の2次元図形について,2方向からの投影データによる再構成問題の一意性が成り立つ場合に,その離散化版の実用的な再構成アルゴリズムを与え,安定なことを示した.一意性が成り立たない場合に適当な重み函数を見出してそれを最大にする解を計算機により探索し,非常に面白いパターンが得られることを発見した.
偏微分方程式の数値解析的研究では,中厚平板のモデルであるライスナー-ミンドラン平板に対して新しい安定化混合型4辺形有限要素を開発し,ロッキングを起こさずに薄板モデルに漸近することを検証した.また,乱流のシェルモデルにおいて,相似則を満たすカオス解を追跡しリヤプノフスペクトルを得,それが波数空間において特徴的な波数の周辺にのみ大きな値を持つことを見出した.このアトラクタ次元が大きな極限での漸近表式を導き,数値計算との良い一致を検証した.更にスケール変換に対して不変な積分作用素に適合する双直交ウェーブレットを構成し,応用を与えた.また,修正8節点セレンディピテイ要素が3次の補間誤差を持つことを示し,具体的な問題に対する有効性を確認した.

【研究種目】基盤研究(A)

【研究期間】1995 - 1998

【配分額】37,700千円 (直接経費: 37,700千円)