【研究分野】基礎解析学

【研究領域課題番号】21340032 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

解析学 / 関数解析学 / 発展方程式 / 非線形偏微分方程式 / 変分法 / 関数解析 / 非線形発展方程式 / 関数方程式 / 非線形現象

【研究成果の概要】

物理・工学に現れる様々な非線形偏微分方程式(非線形楕円型方程式,非線形拡散方程式,非線形波動方程式,非線形シュレディンガー方程式及びそれらが結合した方程式系)に対して非線形発展方程式論の立場から,非線形関数解析学,実函数論,常微分方程式論,変分法などの手法を用いて総合的な研究を行った.

【研究種目】基盤研究(B)

【研究期間】2009 - 2012

【配分額】17,290千円 (直接経費: 13,300千円、間接経費: 3,990千円)

【研究分野】基礎解析学

【研究領域課題番号】20224013 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

非線形解析学 / 偏微分方程式論 / 調和解析学 / 関数解析学 / Keller-Segel 方程式系 / Navier-Stokes 方程式 / 弱解の一意性 / 時間大域的弱解 / L＾p-L＾r-型評価 / 最大正則性定理 / 関数方程式 / 非線形偏微分方程式 / keller-Segel系 / タイプI型爆発解 / タイプII型爆発解 / 自己相似解 / 局所存在定理 / Navier-Stokes方程式 / 強エネルギー不等式 / 非斉次境界値問題

【研究成果の概要】

まずKeller-Segel方程式系の解の局所存在定理と有限時間爆発について考察した.一般高次元の領域において,放物型-楕円型の半線型Keller-Segel方程式系のCauchy問題に対して,初期データが可積分および p-乗可積分空間に属するとき,解の局所存在時間の特徴付けを行った.また,初期データの全積分量と2次モーメントの比が,解の有限時刻における爆発にどのような影響を及ぼすかを方程式に現れる係数との相関も含めて明らかにした.応用として,解の爆発時刻付近での漸近挙動は,pに依存して決まる一定の指数オーダーの比率で爆発するのか,あるいは全積分量がある定数以上の振幅で振動するかの二者択一であることを証明した.次に多重連結領域における非斉次境界条件下でのNavier-Stokes方程式の定常問題を考察した.与えらた境界値がそれぞれの境界の連結成分における流量の総和がゼロという条件下では同問題の可解性は未解決である.本研究では,境界値の領域全体へのソレノイダル拡張されたベクトル場の調和部分が非自明な定常Euler 方程式系から決まる圧力勾配と直交していれば,すべての粘性係数について可解であることを証明した.更に応用として,Leray の不等式の整合性と領域の位相幾何学的な性質との関連を特徴づけた.

【研究種目】基盤研究(S)

【研究期間】2008 - 2012

【配分額】146,120千円 (直接経費: 112,400千円、間接経費: 33,720千円)

【研究分野】基礎解析学

【研究領域課題番号】16340043 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

非線形発展方程式 / 非線形楕円型方程式 / 非線形偏微分方程式 / 変分法 / 劣微分作用素 / 関数方程式 / 関数解析 / 非線形現象

【研究成果の概要】

(i)本研究によって開発された、「L^∞-エネルギー法」を、時間微分の非線形項を有する非線形放物型方程式に応用し、一意的時間局所解を構成した。従来の方法では、一意性を導くのが困難であったが、高い微分可能性を保証することで、これが可能になった。さらに、この手法は、走化性粘菌の行動を記述する非線形放物型方程式系やヒステレシス項を有する方程式系にも有効であることがわかり、従来の研究より大幅に弱い条件のもとで、解の存在、一意性が得られることが示された。
(ii)p-Laplacianを主要項に持つ準線形放物型方程式に対する初期値境界値問題に対して全ての解軌道を引き付ける無限次元の「大域アトラクター」が、L^2で構成された。無限次元の大域アトラクターを持つ例は、半線形放物型方程式では全く知られておらず、このような新奇な現象が発見されたことは、極めて重要である。一方で、主要項にp-LaplacianとLaplacianを含む、ある種の特殊な準線形放物型方程式に対して、あるクラスに属する初期値から出発する解軌道を、時間に関して指数的に引き寄せる、有限フラクタル次元を持つ「指数アトラクター」の存在が示された。これから特に、大域アトラクターが有限次元であることが導かれる。すなわちこれらの知見は、半線形放物型方程式とはことなり、準線形放物型方程式に対する大域アトラクターの有限次元性と無限次元性とを支配する何らかの構造が内包されていることを示唆しており、今後の極めて重要な研究課題を提示している。
(iii)時間に関する依存性をもつ劣微分作用素に支配される抽象放物型方程式のCauchy問題、周期問題に対して、劣微分作用素の近似列がMoscoの意味で方程式を支配する劣微分作用素に収束するとき、対応する近似解は、もとの方程式の解に強収束することが示された。周期問題に対しては、この問題は長く未解決問題として残されていた重要なものであり、これが肯定的に解決されたことは大変意義深い。

【研究種目】基盤研究(B)

【研究期間】2004 - 2007

【配分額】17,490千円 (直接経費: 16,200千円、間接経費: 1,290千円)

【研究分野】解析学

【研究領域課題番号】06640226 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

非線形偏微分方程式 / 関数解析 / 作用素の半群 / 作用素り分数巾 / 軸間空間論 / 調和解析

【研究成果の概要】

Navicr-Stokcs方程式の外部問題は、内部問題と比較して、単に取り扱いがより複雑であるというとには留まらず、解の無限遠方での漸近挙動の与え方により、方程式の適切性が著しく異なるので、大変興味深い結果が得られた。「境界で静止しかつ無限遠方で一定の速度で動くようなStokcs方程式の解は存在しない」という有名なStokcsのパラドックスはその典型である。本研究では、このパラドックスがStokcs作用素A^1を一階の偏導関数がr-乗可積分(∇u∈L´)であるhomogeneous Sobolev空間において考察し、その核が自明なものに限るか?という問題と同値であることに着目し、2次元だけではなく多次元においても同様なパラドックスが成り立つことを証明した。この事実はNavicr-Stokcs方程式の外部問題を線形Stokcs方程式の摂動として捉えることの限界を示している。実際、A^1が全単射である必要十分条件は3次元外部領域の場合、3/2<r<3であることは特異な現象を生じることが解明された。すなわち、∇u∈L^<3/2>なる解が存在するための必要十分条件は領域Ωの境界Γによるdrag forccがゼロ“∫r Dcf u・v dS=O"である。ここにDcf uは速度場uによるdcformation tcnsorであり、vは境界Γの単位法線ベクトルである。一方、Navier-Stokcs方程式はスケール則があり、上記の∇u∈L^<3/2>なるクラスはスケール変換で不変な関数空間である。従ってこの空間で解を求めることは重要である。いささか物理的には不自然であるが、このクラスの安定性を示すことに成功した。その際、代表者による関数空間の以前の研究が大きな役割を果たした。

【研究種目】一般研究(C)

【研究期間】1994

【配分額】2,000千円 (直接経費: 2,000千円)