【研究領域課題番号】21H00998 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

ナビエ・ストークス方程式 / 計算機援用証明 / Divergence-free条件 / 固有値問題の厳密評価 / Hypercircle法 / 有限要素法 / 精度保証付き数値計算

【研究種目】基盤研究(B)

【研究期間】2021-04-01 - 2025-03-31

【配分額】17,160千円 (直接経費: 13,200千円、間接経費: 3,960千円)

【研究領域課題番号】20K14357 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

ナビエ・ストークス方程式 / プリミティブ方程式 / 領域摂動誤差 / 不連続ガレルキン法 / 動弾性体方程式 / 接触・摩擦境界条件 / Navier-Stokes方程式 / 摩擦型境界条件 / 有限要素法 / 誤差評価 / 領域摂動

【研究成果の概要】

(1) 大気や海洋のように、水平方向のスケールが垂直方向のスケールよりも大きな場合（数学的にはアスペクト比0の極限において）、流体の運動を表すナビエ・ストークス方程式から静水圧平衡を満たすプリミティブ方程式が導出される。この議論の数学的正当化は、周期境界条件の場合について知られていた。我々は物理的により重要な滑りなし条件の場合でも同様の結果を得ることができた。
(2) 不連続ガレルキン(DG)法は有限要素法の一種で、隣り合う要素間で不連続な基底関数を許容することにより、自由度の高い近似空間を実現する手法である。近似したい偏微分方程式の解は要素間でも滑らか（連続）になるものを想定するが、連続性の条件は関数空間でなく弱形式にペナルティー項として反映されているという特徴がある。通常のDG法のスキームでは各要素がつぶれていないという正則性条件が必要だったが、我々は外接半径条件という緩いメッシュ条件で通用するDG法のスキームを開発することに成功した。
(3) 領域内部と境界上で楕円形偏微分方程式を考え、それら2つがノイマン作用素を通じて相互作用するモデルを一般化ロバン境界条件という。一般化ロバン境界条件は、流体構造練成問題の次数低減モデルや、近年注目を集める動的境界条件問題に対するプロトタイプとして登場し、曲がった境界を持つ一般領域における理論数値解析の結果を確立することは重要な課題となっている。我々は、曲がった境界を多角形近似することで生じる領域摂動も考慮し、有限要素法の誤差評価を導くことに成功した。

【研究種目】若手研究

【研究期間】2020-04-01 - 2024-03-31

【配分額】4,160千円 (直接経費: 3,200千円、間接経費: 960千円)

【研究分野】数学基礎・応用数学

【研究領域課題番号】17K14230 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

有限要素法 / Navier-Stokes方程式 / 領域摂動 / Primitive方程式 / 最大正則性 / Stokes-Darcy問題 / 不連続Galerkin法 / Euler方程式 / 摩擦型境界条件 / 誤差評価 / プリミティブ方程式 / 時間大域解 / 応用数学 / 流体

【研究成果の概要】

流体の運動を表す偏微分方程式に対する数学解析と数値解析の研究を行った。数学解析としては、大気や海洋の振る舞いを記述する基礎方程式として知られるPrimitive方程式を対象として、数学的な解がきちんと存在することを示し、流体の支配方程式としてより一般的なNavier-Stokes方程式との関係を明らかにした。数値解析としては、数値シミュレーション手法の一つである有限要素法を考察し、滑らかな領域の偏微分方程式に用いられた場合における数学的正当化を行った。

【研究の社会的意義】

流体の数値シミュレーションにおいては、数値計算手法の急速な発展に比べて、数学的議論を用いた正当化が追いついていない面がある。本研究課題で得られた成果は、数学解析と数値解析の両面からアプローチを行い、欠落している数学的正当化を確立することを試みたものである。経験則で確認するという側面が強かった数値シミュレーションの妥当性を数学理論の面からもサポートし、流体数理の発展に寄与することが期待される。

【研究種目】若手研究(B)

【研究期間】2017-04-01 - 2020-03-31

【配分額】4,030千円 (直接経費: 3,100千円、間接経費: 930千円)

【研究分野】数学一般(含確率論・統計数学)

【研究領域課題番号】15540113 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

2流体問題 / Navier-stokes方程式 / 質量保存性 / ラグランジュ未定乗数 / フラックス・フリー有限要素法 / Stokes界面問題 / 誤差評価 / 収束性 / Navier-Stokes方程式 / ラグランジュ未定乗数法 / 非圧縮性 / immiscible / フラックス汎関数 / ラグランジュ乗数 / 有限要素法

【研究成果の概要】

本研究は,自由表面及び界面を持つ流れ問題に対する新しい有限要素スキームの開発とその数理解析および新しい工学プロセスへの応用を総合的に研究することを目的に,平成15年度および平成16年度の2ヵ年にわたり実施された。
平成15年度は,自由界面を有する2流体問題に対して,界面でのフラックスが0となる制約条件をラグランジュ未定乗数法の枠組みで取り入れた新しい混合型変分定式化に基づくフラックス・フリー有限要素スキームを提案し,変分定式化の数学的正当性,定常問題の近似問題の可解性と誤差評価およびNavier-Stokes方程式に対する分数段射影スキームの安定性等について考察を行った.さらに,本手法の有効性を検証するためにダムブレイク問題スロッシングタンク問題等について多くの数値実験を行なった.その結果,本手法の高い質量保存性が実証された.
平成16年度は,動粘性係数νの不連続性を考慮したStokes界面問題の有限要素近似の収束性の議論をベースにして,不連続な粘性係数および密度をもつNavier-Stokes界面問題で記述される2流体問題に対するフラックス・フリー有限要素法の収束性を明らかにした.具体的には,P_1isoP_2/P_1要素をモデルとして,動粘性係数νの三角形栗素における近似を考慮したStrangタイプの誤差評価式を構築し,界面の滑らかさ及びStokes界面問題の解の正則性を仮定して,フラックス・フリー有限要素法の収束性を示した.
しかしながら,本手法の射出成型などの鋳造シミュレーションへの応用については,高密度・高粘性比の問題にも対応できる新たな有限要素スキームの開発が必要であり,今後の課題である.

【研究種目】基盤研究(C)

【研究期間】2003 - 2004

【配分額】3,200千円 (直接経費: 3,200千円)

【研究分野】数学一般(含確率論・統計数学)

【研究領域課題番号】14740067 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

有限要素法 / ナヴィエ・ストークス方程式 / 非線形半群 / 滑り境界条件 / 漏れ境界条件 / 正則性 / 劣微分 / 摩擦境界条件

【研究成果の概要】

・線形放物型方程式とその区分的一次要素による集中質量型の半離散有限要素近似(空間変数のみを離散化)を考え,初期値aをL^2からとり,放物型方程式,半離散有限要素方程式の解をそれぞれu(t),u_h(t)としたとき最適誤差評価‖u(t)-u_h(t)‖【less than or equal】Ch^2t^<-1>‖a‖が成り立つことを証明した.ただし,‖・‖はL^2ノルム,hは離散化のパラメータである.また,H^1ノルムでの誤差評価も導出した.証明の方法はH.P.Helfrichのreal methodの応用であるが,放物型方程式の平滑化作用(あるいは正則半群の解析性)を十分に活用した点に独自の工夫がある.
・非一様離散化幅の下での,正則半群の有理関数近似について,その安定性と誤差評価を導出した.この結果は,発展方程式の時間離散化と大いに関連がある.
・前年度に行った,Stefan問題,多孔性媒質を通過する流れ問題に関連した非線形半群の有限要素近似のL^1誤差解析の結果を,7月にSydney(Australia)で開催されたThe 5th International Congress on Industrial and Applied Mathematics(ICIAM 2003)にて発表し,海外の専門家と情報交換を行った.
・非圧縮性粘性流体の2相流問題の全体領域上での厳密な再定式化をおこなった.これについては,研究代表者が以前に行った領域分割法の研究の経験が生かされ,これまでの研究で放置されていた理論的なギャップがほぼ埋められたといってよい.

【研究種目】若手研究(B)

【研究期間】2002 - 2003

【配分額】2,300千円 (直接経費: 2,300千円)

【研究分野】数学一般(含確率論・統計数学)

【研究領域課題番号】10440025 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

複雑系 / 数値解析 / 生態系 / 多相流 / 自由境界問題 / 数理モデル / 領域分割法 / 最適化アルゴリズム / 油濁 / 沿岸生態系 / 大規模連立一次方程式 / 反復解法 / 有限要素法 / Navier-Stokes方程式 / ニューラルネットワーク / 最適化 / 複雑形状 / 数学的モデル / 非線形偏微分方程式

【研究成果の概要】

複雑系を研究対象とする本研究の成果は、以下の4つに大別される。
(1)沿岸油濁の生態系に及ぼす影響。(2)大域最適化問題に対するハイブリッドアルゴリズムの開発とその応用。(3)(1)で提案された数理モデルから派生した数学的諸問題に対する、理論的・数値的研究及び数理モデルを記述する、偏微分方程式系の解法アルゴリズムの提案。(4)上記(1)(2)(3)の研究を強力に推進するにあたり、基盤となった国際会議・二国間セミナー等の開催。
上記(1)(2)(4)の研究の概略
(1)日本海沿岸におけるナホトカ号の油流出事故に見られるように、沿岸海域における油濁は、海域中に生息する様々な生物に大きな影響を与えるのみならず、その生態系の構造、機能にも大きな影響を与え、更に物質循環などを滞らせる。これらの現象を解明する手段として、流体力学に基づく数理モデルの構築、数値シミュレーションとその可視化を行った。ここで得られた結果は、流体実験手法に基づく結果と良い整合を示し、沿岸生態系に対する油濁負荷を軽減する技術開発に対して、数理的見地からの提言を意味している。
(2)本研究で開発されたアルゴリズムの基本原理は、複雑系の或るダイナミカルな運動パターンを模して構成されている。
(4)当該科学研究費の援助によって開催した(1)国際会議として「第12回領域分割法に関する国際会議」(1999年10月25日〜10月29日,於:千葉大学)がある。領域分割法は、複雑系を理解する上で、非常に有効であると同時に手法に内包される数学解析は、偏微分方程式の研究分野の拡大を促進している。また、(2)二国間交流セミナーとしては、「Active Controlに関する日仏セミナー」(1998年10月7日〜10月9日,於:東京)と、「数値数学に関する日中セミナー」(1998年8月24日〜8月28日,於:千葉大学)がある。参加者と講演名は本報告書内に付記されている。

【研究種目】基盤研究(B)

【研究期間】1998 - 2000

【配分額】6,400千円 (直接経費: 6,400千円)