【研究領域課題番号】18K03435 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

自己適合移動格子スキーム / 構造保存型差分スキーム / 応用可積分系 / ソリトン / パフィアン / 離散可積分系 / 可積分アルゴリズム / ２次元非線形波動パターン / 可積分系 / ローグ波 / ２次元波動パターン / 三角形分割 / 離散微分幾何 / 離散数理構造

【研究成果の概要】

今年度は主として以下の問題に取り組んだ．
(1) 解構造を保存する離散化，自己適合移動格子スキームの構築と実装に関する研究．大変形問題に対する数値計算法として有効な自己適合移動格子スキームは，これまで非零境界条件には適用が困難であったが，前年度にその困難の克服ができる実用的手法を探索し，最終的にそれを見出すことに成功した．本年度はそれをさらに前進させ，より多様な方程式に適用できるように理論を整備した．また，これまで困難であった多成分短パルス方程式の解構造を保ち空間と時間を共に離散化する全離散化に成功した．また，前年度から行なっている感染症の数理モデルの解構造を保存する離散化にも引き続き取り組んだ．
(2) Pfaffian解を持つHungry Lotka-Volterra型方程式およびBKP方程式についての研究．Pfaffian解を持つHungry Lotka-Volterra型方程式のソリトン解を構成し，ソリトン相互作用の詳細を調べた．また，前年度から引き続き２次元ソリトンパターンの分類問題，特にBKP方程式のソリトン解の分類に適した形の解の表示を用いBKP方程式のソリトン相互作用を調べる研究も行ったが，この成果をPfaffian解を持つHungry Lotka-Volterra型方程式のソリトン相互作用の研究に有用であることがわかった．
(3) 遅延ソリトン方程式の研究　離散KP方程式から遅延ソリトン方程式およびソリトン解を構成する方法についての研究を行い，新たな可積分な遅延ソリトン方程式を見出した．
新型コロナウイルスの感染拡大によって研究の進捗状況に遅れがでているが，次年度に上記の結果をまとめ，論文として出版する予定である．

【研究種目】基盤研究(C)

【研究期間】2018-04-01 - 2023-03-31

【配分額】4,420千円 (直接経費: 3,400千円、間接経費: 1,020千円)

【研究分野】数学一般(含確率論・統計数学)

【研究領域課題番号】24654028 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

可積分系 / セルオートマトン / ソリトン / 超離散化 / 保存量 / 非線形波動 / 差分方程式 / 束 / 確率モデル / デジタル / パターン / 超離散化手法（アメリカ）

【研究成果の概要】

離散度合いの異なる非線形に対する共通の数学的解析手法を提案することを目指した．具体的な成果としては，(1)初等的セルオートマトンの時間発展方程式を束演算によって表現し，その初期値問題を解くことによって厳密な一般解を提出した．(2)多近傍セルオートマトンで表される粒子系に対して初期値問題を厳密に解いた．また，高次保存量を有する系を1次保存量を有する系に還元して解析を行った．(3)(2)で得られたいくつかの系に対して保存量を壊さずに確率変数を導入し，基本図の理論式を厳密に導出した．

【研究種目】挑戦的萌芽研究

【研究期間】2012-04-01 - 2015-03-31

【配分額】3,510千円 (直接経費: 2,700千円、間接経費: 810千円)

【研究分野】大域解析学

【研究領域課題番号】23540252 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

可積分系 / 特殊関数 / ソリトン / 超離散化

【研究成果の概要】

本研究では，可積分系，特殊関数の理論を拡張し，その応用範囲を広げることを目的とした。主な結果としては次が挙げられる。
(1) Goldstein-Petrichによる平面曲線の等周変形と戸田格子階層との関係を明らかにし，それを通してアフィン・リー代数の実型との対応を考察した。(2) ヤング図形の組合せ論に現れる艤装配置(rigged configuration)について，ソリトン・オートマトンの観点から研究を行った。その結果，時間発展の線形化についての初等的別証明を与えることに成功した（論文は現在準備中）。
これら以外にも，微分幾何学，組合せ論に関する結果が得られており，現在も研究を進めている。

【研究種目】基盤研究(C)

【研究期間】2011-04-28 - 2016-03-31

【配分額】4,810千円 (直接経費: 3,700千円、間接経費: 1,110千円)

【研究分野】大域解析学

【研究領域課題番号】21340034 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

セルオートマトン / 超離散系 / 可積分系 / 箱玉系 / 有限体 / トロピカル曲線 / 特異値閉じ込め / トロピカル / ソリトン

【研究成果の概要】

超離散系とは連続的な方程式から極限操作によって導かれるセルオートマトン系である．可積分性を持つと考えられる超離散系を研究し，(1) 典型的な超離散可積分系である箱玉系の相関関数を求めた，(2)超離散KdV方程式において負のソリトンと呼ばれる特殊な解の構造を明らかにした，(3)超離散パンルヴェ系の解を符号付超離散化により求め，分割数に関する一連の公式を得た，(4)有限体上の可積分系はAGR(almost good reduction)と呼ぶ性質を持つことを示した．

【研究種目】基盤研究(B)

【研究期間】2009-04-01 - 2013-03-31

【配分額】15,730千円 (直接経費: 12,100千円、間接経費: 3,630千円)

【研究分野】数理物理・物性基礎

【研究領域課題番号】19540393 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

可積分系 / ソリトン / ベーテ仮説 / 量子群 / ヤン・バクスター方程式 / 箱玉系 / 周期性予想 / クラスター代数 / 非対称排他過程

【研究成果の概要】

超離散ソリトン系の代表的なモデルである箱玉系について, 以下の結果を得た. 多状態かつ箱の容量が任意に非一様な無限系, 2状態で箱の容量が任意で一様な周期系のそれぞれについて, 初期値問題の解のアルゴリズムおよび明示式を得た, 特に明示式として, ソリトン理論や代数曲線の理論に登場するタウ関数やリーマンテータ関数の超離散類似を初めて導出した. この他, T-systemの周期性や多状態非対称排他過程のスペクトルについても結果を得た.

【研究種目】基盤研究(C)

【研究期間】2007 - 2008

【配分額】1,820千円 (直接経費: 1,400千円、間接経費: 420千円)

【研究分野】大域解析学

【研究領域課題番号】16540182 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

可積分系 / アフィンワイル群 / パンルヴェ方程式 / モノドロミー保存変形 / 量子群 / Schur関数 / ソリトン / ワイル群 / アフィンリー環

【研究成果の概要】

主として場の理論に付随して現れる古典および量子可積分系とその離散化について,主に対称性の観点からの普遍的理解をめざし,新たな構造や視点を得ることが本研究課題の主目的であった.これに対し,各研究者は互いに議論しつつ以下のような研究を行った.
長谷川は,パンルヴェ方程式を含むアフィンワイル群対称性をもった方程式について,その量子差分化の研究を行った.とくに,梶原-野海-山田による差分パンルヴェ方程式の解空間へのアフィンワイル群作用の量子化について考察を深めるとともに,また神保と坂井による第6パンルヴェ方程式の差分化に対し,その量子化を構成した.
黒木は,モノドロミー保存変形の理論の量子化と差分化について一般的に考察した.梶原-野海-山田によるアフィンワイル群作用の長谷川による量子化について,dressing chainおよび幾何クリスタルとの関連の観点からの再構成を行うとともに,共形場理論のW代数による変形の立場からの考察を行なった.
山田は,山田は可解格子模型に特有の構造のトロピカル化について考察し,種々の組み合わせ的構造との対応を示すとともに,離散パンルヴェ系の超幾何解について,とくに楕円関数版の場合を研究した.また退化した場合も含めて,q-Painleve方程式の超幾何解を構成した.更に,そこで用いた方法を微分Painleve方程式のHamiltonianに応用した.
池田はソリトン系の簡約について考察し,その中でシューアのQ関数に関する組み合わせ的等式をフェルミオン・フォック空間を用いて示した.さらに同変コホモロジーを用いてシューアのQ-関数を捉えることに成功し,トーラス作用の固定点への局所化によって特殊多項式を研究するという視点が実り多いものであるということが再認識できた.

【研究種目】基盤研究(C)

【研究期間】2004 - 2005

【配分額】3,600千円 (直接経費: 3,600千円)

【研究分野】数理物理・物性基礎

【研究領域課題番号】15540363 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

可積分系 / 可解格子模型 / ヤン・バクスター方程式 / ベーテ仮説 / 量子群 / 結晶基底 / 超離散 / 箱玉系 / ソリトン / セルオートマトン

【研究成果の概要】

量子群の結晶基底に付随する1次元可積分セルオートマトンとそれに関連する諸問題について,大きな進展を達成できた.
3年間で得られた成果(1)-(6)の概要を以下に述べる.
(1)D型のトロピカルRについて,双線形形式を見出し,DKP階層のタウ関数がその解となることを証明した.系統的な退化により,C型やねじれA型のアフィンリー環についても同様の結果を得た.
(2)箱の容量の大きいセルオートマトンについて,時間発展を対生成・消滅する粒子・反粒子系の運動として明示的なアルゴリズムで記述することに成功した.
(3)パラメーターqが0のとき箱玉系になるような量子的力学系を頂点模型の極限操作から構成した.量子的時間発展を粒子の種類ごとの運作用素に因子化し,2種類のノルムを導入してその性質を調べた.
D型の場合についても同様の結果を得た.
(4)反射壁のある箱玉系を構成した.ソリトンの自由度を抽出し,散乱規則,反射規則を明らかにした.境界可積分条件の解を見出し,トロピカル化した設定で反射方程式を証明した.
(5)フェルミ公式の証明の核となるKKR全単射について,結晶基底の組み合わせRだけを用いた記述を得た.
非例外型の全てのKKMクリスタルについても同様の予想を得た.これは箱玉系の逆散乱形式に相当する.
(6)周期箱玉系をKKMクリスタルやA型のKRクリスタル一般に拡張し,状態数と一般周期公式の予想を得た.
A型で最も簡単な場合にはq=0とq=1のベーテ仮説を組み合わせることにより,初期値問題を逆散乱法により完全に解くことに成功した.

【研究種目】基盤研究(C)

【研究期間】2003 - 2005

【配分額】1,900千円 (直接経費: 1,900千円)

【研究分野】工学基礎

【研究領域課題番号】11555023 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

ソリトン / 超離散 / 差分方程式 / セルオートマトン / 交通流 / 箱玉系 / デジタル / パターン形成 / 超離散化 / 交通流モデル / 反応拡散系 / 再帰方程式 / max-plus方程式 / バーガーズ方程式 / 可積分系 / 可積分 / クリスタルベース

【研究成果の概要】

超離散化は,exp型の非解析的極限を差分方程式に適用し,従属変数の離散化を行うという手法である.この手法と微分方程式の差分化手法を組み合わせると,微分方程式から差分方程式,そして超離散化方程式という一連の離散化が可能になる.本研究は,この離散化手法を具体的な方程式にあてはめ,どのような応用が可能かを探る研究である.その具体的な成果は以下の通りである.
まず,バーガーズ方程式の線形化可能構造を壊さずに,差分化そして超離散化することにより,交通流のモデルの基礎となるルール番号184のセルオートマトンを得ることに成功した.そして,このセルオートマトンを拡張することにより現実の交通流の渋滞形成を再現するモデルを得ることに成功した.
次に超離散化手法が基盤としているマックス-プラス代数を応用することにより,反応拡散系などのパターン形成系のメカニズムを再現できるデジタル方程式を提案することに成功した.この方程式から,ターゲットやスパイラルなどのパターンがどのような数学的表現により実現されるかが明確になり,パターン形成理論に対して新しい知見をもたらすことができた.
さらに,再帰系などの2階の非線形差分方程式の超離散化を行い,その解構造を調べた.これら系の解は一般に楕円関数で表現することができる.超離散化を行うと,解はmod関数に似たふるまいをすることが分かった.そこで,なぜそのような解の振る舞いが生じるのかを,力学系理論の観点から調べ,明示的な解構造を得ることに成功した.この成果は力学系理論に対して新しい寄与をなすと考えられる.

【研究種目】基盤研究(B)

【研究期間】1999 - 2002

【配分額】6,900千円 (直接経費: 6,900千円)

【研究分野】数学一般(含確率論・統計数学)

【研究領域課題番号】10554002 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

ソリトン / 弾性体の大変形 / 離散ソリトン / 可積分系 / KP方程式

【研究成果の概要】

マルチボデイダイナミクスに現れうる一連の基礎方程式の中で解けるクラスの非線形離散方程式およびその近似方程式に還元できるものを分類し、その結果を基に解析可能な非線形離散モデルを作るという目的に対して以下の成果を得た。
(1)3次元空間で大変形運動する1次元弾性体の離散化モデルを考察した。ある近似のもとで、運動を記述する離散方程式とソリトン方程式の関係を調べ、2次元空間へのリダクションで変形KdV方程式の離散版に帰着すること、3次元空間の連続版では特殊な場合に非線形シュレディンガー方程式を含むことを明らかにした。また、このモデルが連続極限で弾性論のコッセラー理論に一致することを示すとともに、このモデルを離散ソリトンの時間発展と融合して新しい精密な数値計算スキームを得ることができた。このスキームは従来の有限要素法による運動解析よりも簡単に精度良く計算できる利点がある。
(2)材料裟形に対する温度効果を考慮した離散モデル方程式を提案した。これは変形にかかわるマクロな量とミクロな量をつなぐ可能性のあるモデルであり、マルチボディの大変形運動解析にも役立つことが期待できる。
(3)1次元弾性体の離散化モデルのうち、近似的に2+1次元の非自律可積分系のリダクションとして得られるものを考察した。また、この可積分方程式と2成分KP方程式の関係を見いだし,2成分KP方程式のソリトン解からもとの1次元弾性体の運動をよく記述し得るものを構成した.これらの結果はマルチボディ解析に対して間接的ではあるが有用なものである。
(4)離散系の本質を理解するために、反応拡散系や交通流に係わる超離散系についてその解構造を検討した。適切な離散化により、現象の特徴的な部分を取り出せることがこれらの研究により確認された。

【研究種目】基盤研究(B)

【研究期間】1998 - 2001

【配分額】13,900千円 (直接経費: 13,900千円)

【研究分野】工学基礎

【研究領域課題番号】06302034 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

ソリトン / 可積分系 / QR法 / セルオートマトン / 逆散乱法 / 戸田方程式 / ボルテラ系 / システム理論 / 数列の加速

【研究成果の概要】

本研究の目的は工学とくに応用数理の分野でソリトン理論の積極的な応用をはかり、新しい視点を加えることによって、工学の発展に寄与することである。主な研究対象について以下の成果を得た。
(1)数値解析の分野:離散ソリトン方程式と行列の固有値問題を解くLR法やQR方との関連について考察を加え、その数理的構造を明らかにした。とくに、離散ソリトン方程式ののもつ対称性がLR法との関連から抽出されたのは一つの成果である。また、加速法や外挿公式との関連も調べ、新しい方法を提案した。
(2)数理工学の分野:線形システム理論・数理計画法におけるKarmarkerの力学系・情報幾何学とソリトン理論の関連性を、とくに戸田方程式の解に依拠して考察し、タウ関数の重要性を指摘した。また、離散パンルヴェ方程式の解と戸田方程式の解が密接に関係していることも明らかにした。
(3)情報関連の分野:ソリトンセルオートマトンの構造を明らかにした。とくに、超離散という概念を導入し、連続系である非線形微分方程式と離散系であるセルオートマトンを直接関係づけることに成功した。また、離散電気回路におけるソリトン貯蔵とソリトン圧縮について新しい知見を得た。
(4)構造解析の分野:量子スピン系における可積分の概念を利用して、光励起子のストリング解が存在する可能性を示した。生体をはじめとするさまざまな対象に対する逆問題の適用。
この研究に関連して「ソリトン理論とその応用」と題する研究集会を平成7年11月9日から11日まで総合研究大学院大学で開催し、75名あまりの参加を得た。

【研究種目】総合研究(A)

【研究期間】1994 - 1995

【配分額】5,400千円 (直接経費: 5,400千円)

【研究分野】工学基礎

【研究領域課題番号】05750069 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

ソリトン / セルオートマトン / 可積分系

【研究成果の概要】

本研究においては、本研究代表者によって既に発見されたセルオートマトン型のソリトン系の代数構造の解明、および、系の拡張が主要なテーマであった。まず、代数構造に関しては、無限個の保存量の陽な表現を見つけることができた。この表現から、系がスタック順列、カタラン数などと深い関連があることが明らかになり、ソリトン系と組み合わせ理論との新しいつながりを提出することができた。また、系の時間発展を記述する整数変数の差分方程式を提出した。この方程式は非線形性を絶対値関数で表したものであり、従来の広田の双線形形式に帰着しない新しいタイプの方程式である。以上の成果は、ソリトン理論に関する新しい知見となっている。
次に、系の拡張に関しては、箱と球という単純な構成要素で系を表現できたことがきっかけとなった。これにより、箱の容量を大きくする系、球に番号を付加する系、双方向に移動する球を導入する系が発見された。そして、それら系がすべて厳密な意味でのソリトン系であることが、数学的証明および数値実験によって示された。また、拡張同士を混合した系もソリトン系なることがわかった。特に、球に番号を付加する拡張系については、まだ一般的な数学的証明を見つけていないが、その初期値問題が結び目理論における不変量と関係があるらしいということについて、いくつかの手がかりを得ることができた。
以上の成果は、いくつかの学会で発表され、論文で公表された。得られた成果によって系の代数構造を完全に解明できたわけではなく、セルオートマトン理論へのソリトン理論へのさらなる枠組みの拡張の可能性は大いに残されている。そして、今後、得られた成果が、通信や符号理論へのソリトン系の応用の手がかりになることが期待される。

【研究種目】奨励研究(A)

【研究期間】1993

【配分額】800千円 (直接経費: 800千円)