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超対称性 / 格子ゲージ理論 / 数値計算 / 超弦理論

本年度は、球面上に定義されたN=(2,2)超対称ヤン・ミルズ理論の数値計算を実行し、その結果を受けて行った理論的な考察から、離散化されたN=(2,2)超対称ヤン・ミルズ理論に、これまで見逃されていた新たな構造を発見した。
前年度の研究によって、背景時空が持つ真空の電荷を制御する理論的な方法が確立した。予備的に行った粗い格子上での数値計算では、理論が持つ対称性が数値誤差の範囲内で保たれていることが示唆され、手持ちのプログラムが正しく機能していることが確かめられた。
そこで我々は、格子をより細かく区切り、連続極限に外挿可能な精度での数値計算を行った。ところが、予想に反して、連続極限に近づくに従って、理論の予言と矛盾する結果が得られるようになった。これは、格子理論が持つ何か重要な構造を見落としている可能性を示唆する結果である。
そこで我々は、グラフ理論の手法を用いて、離散化されたN=(2,2)超対称ヤン・ミルズ理論のスペクトル構造を詳細に調べた。この理論は、超対称性の特性を利用することで、いわゆる鞍点法によって分配関数が厳密に計算できるという特性がある。今回の解析によって、鞍点まわりの構造は、グラフ理論に登場する入射行列と呼ばれる行列のスペクトルで規定されていることが明らかになった。結果として、この理論の分配関数は、鞍点まわりに必ずフェルミオンのゼロモードが生じるために、その処理をしない限り分配関数そのものが定義不可能になってしまうことが明らかになった。このゼロモードは鞍点の直上でしか顕在化しないため、数値計算では認識されないが、連続極限に近づくにつれてその影響が大きくなる。これが数値計算が破綻した原因と考えられる。これは、連続理論における解析でも見逃されていた事象であり、今後、他の超対称ゲージ理論を数値的に解析する際には常に考慮に入れなければいけない特性である。

超対称性 / 数値計算 / 格子ゲージ理論 / アノマリー / 局所化

最近の超弦理論の研究から、超対称ゲージ理論が初期宇宙や量子重力理論といった問題にアプローチするための鍵となることが明らかになりつつある。本研究は、この成果を受け、2次元格子理論と行列正則化を組み合わせることで、4 次元の超対称ゲージ理論を第一原理から計算する手法を確立することを目的として行われた。
本研究では、分割したリーマン面上に2次元超対称ゲージ理論を定義し、その特性を調査した。結果、2次元理論の量子異常と数値計算の関係性をはじめとする多くの知見を得ることが出来た。これらの知見は、今後量子重力理論を見据えた4次元理論の数値計算を実行する上で必要不可欠なものである。

現在、物質の基本的な構成要素である「素粒子」は、その相互作用まで含めて場の量子論と呼ばれる理論体系で記述される。一方、アインシュタインは重力の本質が時空と物質の相互作用にある事を明らかにしたが、その記述方法は古典力学的であり、場の量子論とは本質的に相容れない。我々の宇宙の根本原理を明らかにするためには、重力と量子がどのような形で融合するかを知る必要があるが、超弦理論が予言する「ゲージ重力対応」はそのための有力なアプローチ方法である。本研究によって、超対称ゲージ理論の数値計算を実行するための知見が多く得られた。これは、重力の量子論的な特性を調査するための重要なステップである。

超対称性 / 数値計算 / 格子ゲージ理論 / 行列模型

最近の超弦理論の研究から、超対称性を持つゲージ理論（超対称ゲージ理論）が初期宇宙や量子重力理論といった問題にアプローチするために鍵となることが明らかになりつつある。本研究は、この成果を受け、超対称ゲージ理論を数値的に調べるための方法論を確立することを目的として行われた。
本研究によって、２次元超対称ゲージ理論の数値計算のために構築されたアルゴリズムの中でも、特に杉野模型が有用であることが明らかとなった。そして、杉野模型が本来持っていた、非物理的な真空を多数持つという欠点がエレガントな方法で解消され、数値計算に基づいた超対称ゲージの研究の基礎を築くことに成功した。

【研究協力者】
杉野文彦
花田政範