【研究分野】解析学基礎

【研究領域課題番号】17K05290 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

拡散過程 / 古典力学系 / 収束 / 確率過程の収束 / 低次元 / ブラウン運動 / 総エネルギー / 確率論

【研究成果の概要】

理想気体に置かれた重粒子が、環境軽粒子達とノン・ランダムな古典ニュートン力学に従い相互作用をしながら動く系について研究した。このとき、再作用の可能性により、重粒子の挙動はマルコフ性すら持たない。本研究では、粒子間相互作用はコンパクトな台を持つあるポテンシャル関数によって与えられる斥力であるモデルについて、軽粒子の初期エネルギーが下から有界であるという仮定の下で、軽粒子達の質量が０に収束するとき、重粒子の挙動を表す確率過程はある拡散過程に収束することを証明した。

【研究種目】基盤研究(C)

【研究期間】2017-04-01 - 2022-03-31

【配分額】2,600千円 (直接経費: 2,000千円、間接経費: 600千円)

【研究分野】大域解析学

【研究領域課題番号】22340034 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

エルゴード理論 / タイヒミュラー空間論 / 拡散過程 / 力学系 / ブラウン運動 / 測地流 / 確率解析 / 熱力学形式 / 力学ゼータ関数 / 生成作用素

【研究成果の概要】

先行研究において得られたタイヒミュラー空間のブラウン運動の候補となる拡散過程について、その推移確率密度関数が応用上重要な幾つかの不等式を満たすことを確かめることはできたが、内在的距離とタイヒミュラー距離との関係を明らかにするまでには至らなかった。 一方、力学系に関係する成果としては、RVZ 誘導変換の周期軌道に対応するような写像類群の双曲元について、チェボタレフ型の密度定理の成立を示唆する結果が得られた。

【研究種目】基盤研究(B)

【研究期間】2010-04-01 - 2014-03-31

【配分額】16,770千円 (直接経費: 12,900千円、間接経費: 3,870千円)

【研究分野】基礎解析学

【研究領域課題番号】18540193 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

ネヴァンリンナ理論 / 有理形関数 / 多様体上のブラウン運動 / 値分布論 / 拡散過程 / 幾何学的関数論 / ブラウン運動 / グリーン関数

【研究成果の概要】

ネヴァンリンナ理論は、有理形関数の除外点の個数を評価するなどの有理形関数の値分布の研究に使われる基本的な理論である。古典的なネヴァンリンナ理論が確率論を使って記述できることは研究代表者などの研究により知られている。本研究は、この確率論との関係をより深く研究することにより、一般のケーラー多様体上で定義されている有理形関数に対するネヴァンリンナ型理論を構築する。さらにそれを応用して、ケーラー多様体上の有理形関数の値分布、特に除外点の個数の評価への応用を研究した。

【研究種目】基盤研究(C)

【研究期間】2006 - 2008

【配分額】2,520千円 (直接経費: 2,100千円、間接経費: 420千円)

【研究分野】数学一般(含確率論・統計数学)

【研究領域課題番号】17540105 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

一次元拡散過程 / 一般化逆正弦法則 / ブラウン運動 / ランダム媒質 / 逆正弦法則 / 安定分布 / 局所時間 / 拡散過程 / ベッセル過程

【研究成果の概要】

主として一次元拡散過程の加法的汎関数、特に正側滞在時間について、時間無限大での漸近挙動について調べた。歴史的にはこの問題は、ブラウン運動やランダム・ウォークの場合については逆正弦法則に従うことがよく知られており、多くの人々によって様々な一般化がなされてきた。Lampertiは非常に一般的な離散時間の確率過程について可能な極限分布(一般化された逆正弦法則)と、その吸引域を与えた。一次元拡散過程には彼の定理はそのまま適用出来ないが、この場合についてはS.Watanabeにより同様な結果が得られている。これらは古典的な結果であるが、最近はファイナンス理論との関係が指摘されて再び注目をあびている。本研究では、ブラウン運動にランダムなドリフトをつけた拡散過程(ランダム媒質中の拡散過程)やその離散モデルであるランダム媒質中のランダムウォークの場合について片側滞在時間について研究した。主な結果は次の通りである。(1) ある種の0-1法則が成り立つこと。すなわち、ある条件のもとではランダムな環境を固定する毎に殆ど確実に片側滞在時間はベルヌイ型確率変数に確率収束する。(2) そのとき、ランダム媒質が安定型であれば、片側滞在時間は目盛でみるとある非退化な分布に法則収束している。これらの結果は渡辺信三氏との共同研究でありStoch. Proc. Apl. に掲載予定である。また最近Lampertiの古典的な片側滞在時間に関する極限定理について、矢野裕子氏他が関数型定理を証明したが、その定理で除外されていた指数0のケースの特殊について、非線形正規化を行えば非退化の極限分布が現れることを証明した。これは鈴木桜子氏との共同研究であり、学士院紀要にて出版された。

【研究種目】基盤研究(C)

【研究期間】2005 - 2007

【配分額】3,470千円 (直接経費: 3,200千円、間接経費: 270千円)

【研究分野】基礎解析学

【研究領域課題番号】17340036 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

Wiener 空間 / Brown 運動 / 拡散過程 / 対数Sobolev 不等式 / スペクトルギャップ / 格子スピン系 / Hodge-Kodaira 作用素 / Hodge-Kodaira作用素 / 超縮小性 / 非対称半群 / リーマン多様体 / 不変測度 / ブラウン運動 / 確率解析 / Wiener空間 / スペクトルの跳び / Witten Laplacian / Wiener測度 / 対数Sobolev不等式 / Dirichlet形式

【研究成果の概要】

確率解析に関する研究を、主に関数解析的な手法で進めた。ここでは次のような結果を得た。(1)Hodge-Kodaira 作用素のmultiplier の L^p 有界性(2)Riemann 多様体上のSchrodinger 作用素に対する Littlewood-Paleyの不等式(3)作用素の交換関係と生成作用素(4)Wiener空間及び格子スピン系のSchrodinger作用素のスペクトルギャップの存在(5)1次元拡散過程の生き残り拡散過程の存在(6)非対称な半群に関する超縮小性のための条件と、リーマン多様体上の拡散過程への応用。

【研究種目】基盤研究(B)

【研究期間】2005 - 2008

【配分額】11,380千円 (直接経費: 10,000千円、間接経費: 1,380千円)

【研究分野】数学一般(含確率論・統計数学)

【研究領域課題番号】15540116 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

ポアンカレ上半平面 / ラプラシアン / ブラウン運動 / セルバーグ跡公式 / 指数型ウィナー汎関数 / ベッセル過程 / ウイシャート過程 / リーマン対称空間 / 拡散過程 / レヴィの定理 / ピットマンの定理

【研究成果の概要】

ポアンカレ上半平面(双曲平面)上のラプラシアンに対応する拡散過程である,上半平面上のブラウン運動を与える確率微分方程式は具体的に解くことができ,ウィナー汎関数としての明示的な表示をもつ.本研究においてはこの事実の拡張として,上半平面上のブラウン運動の正規直交枠束への水平持ち上げもまた,ウィナー汎関数としての表示をもつことを示した.この表示をもとに,微分形式に作用するラプラシアンに対する熱核の確率論的な表現を与えて,上半平面のその等距離変換群の双曲的部分群による商空間として与えられるコンパクトなリーマン面上における,微分形式上のセルバーグ跡公式を証明した.調和解析を用いない,解析的または幾何学的な証明となっている.また,次元を2と限っているために跡公式も極めて具体的な形となっている.
一般次元の場合への拡張に関する研究を現在継続中である.2次元の場合は補助的なブラウン運動を導入することによって,水平持ち上げの回転部分をうまく表現することができたことが成功の要因と思われるが,多次元の場合にこれに相当する表現が見つかっていない.今後の課題としたい.この部分が突破できると,これまでの研究の基礎となっているマッキーンの考え方に従ってセルバーグ跡公式の証明ができると考えている.
上半平面上の解析に確率論を応用する際,幾何ブラウン運動を時間に関して積分して得られる指数型ウィナー汎関数が現れる.同じ汎関数が数理ファイナンスの理論やランダム媒質中の拡散過程の研究に現れるため,現在でも研究が続いている.海外共同研究者のヨール教授と共同で,これまでに知られている研究成果および応用をまとめ,また解析的な立場から研究成果を整理して発表した.

【研究種目】基盤研究(C)

【研究期間】2003 - 2005

【配分額】3,500千円 (直接経費: 3,500千円)

【研究分野】数学一般(含確率論・統計数学)

【研究領域課題番号】11640137 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

ブラウン運動 / 拡散過程 / ランダム媒質 / ブラウンポテンシャル / レヴィ過程 / 自己相似過程 / 従属操作 / 多次元timeのブラウン運動 / マルコフ過程 / 極限分布 / レヴィ測度

【研究成果の概要】

本研究は,主としてランダム媒質の中の拡散過程の長時間後の極限的振る舞いに関するものである.「ランダム媒質の中の」の代りに「ランダムポテンシャルをもつ」という表現を用いることもある.
1.半直線[0,∞)上のブラウンポテンシャルをもつ反射壁拡散過程に対して,その適当なスケーリングのもとに得られる極限の確率過程が時間的非一様な自己相似レヴィ過程になることが示され,そのレヴィ測度の具体的な形が求められた(研究発表の欄の第1の論文).
2.R=(-∞,∞)におけるランダムポテンシャルとして原点の左側ではブラウン運動,右側では恒等的に0としたものを考え,このランダムポテンシャルをもつR上の拡散過程の長時間後の極限的振る舞いに関しては従来よく研究されていたモデルの場合とは著しく異なった新しい結果が得られた(研究発表の欄の第3の論文).
3.多次元timeのブラウン運動の種々の領域での最小値,最大値の分布の滑らかさについての結果が得られた.この結果を用いて,多次元timeのブラウン運動の見本関数に対しては「相異なる時点で同じ値の極小値をとることはない」ことが示された.このことは媒質が多次元の場合,例えばランダム媒質として多次元timeのブラウン運動をとった場合の研究へ進むためにも必要なステップとしての意味がある(研究発表の欄の第9論文).
4.マルコフ過程の従属操作は時間的一様の場合に限るものであったが,時間的に非一様なマルコフ過程に対しても拡張された意味での従属操作が可能であることがわかった.また,これに関連して不連続型のマルコフ過程の乗法的汎関数のあるクラスについて具体的表示が得られた.これらは,ランダム媒質が時間とともに変化する場合の研究のための予備的考察(マルコフ過程の種々の構成法の検討)としてなされた.

【研究種目】基盤研究(C)

【研究期間】1999 - 2000

【配分額】2,100千円 (直接経費: 2,100千円)

【研究分野】数学一般(含確率論・統計数学)

【研究領域課題番号】10640107 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

fractional Brownian motion / ブラウン運動 / 逆正弦法則 / 拡散過程 / 自己相似確率過程 / self similarity / local time / tail probability / Gaussian process / Tauberian theorem / occupation time

【研究成果の概要】

1.自己相似性をもつ正規過程であるfractional Brownian motionについて、局所時間の末尾確率の変動オーダーと自己相似性のパラメータであるハースト指数の関係について詳しく調べた。これに関連して、次元を大きくしたときの共分散行列の行列式の減少のオーダーについて調べた。この量は指数的に減少するが、その指数部分とハースト指数の関係が明らかになった。また、これらの結果の多くを、より一般の正規過程に対して拡張した。
2.上記の問題の研究のためには指数型タウバー型定理が有用であり、この問題に関して、一般的な定理を得た。またその応用の一つとして、正値確率変数の独立同分布和X(1)+X(2)+...+X(n)の分布関数について、nを大きくしたときの減少のオーダーを調べた。指数部分のオーダーとX(k)の確率分布との関係を明らかにした。
3.fractional Brownian motionは自己相似確率過程の特別な場合であるが、自己相似確率過程の一般的な性質について若干の結果が得られた。
4.ブラウン運動の正側滞在時間の分布は逆正弦法則であることがよく知られており、fractional Brownian motionに関して同様な性質を調べるのが本研究の目標の一つであったが、これについてはまだ意味ある結果を得るに至っていない。しかしながら、代わりに拡散過程に関する逆正弦法則について詳しい性質が分かった。すなわち、拡散過程の正側滞在時間の分布について、原点付近での漸近性質と標準測度の関係が明らかになった。

【研究種目】基盤研究(C)

【研究期間】1998 - 2000

【配分額】2,900千円 (直接経費: 2,900千円)

【研究分野】基礎解析学

【研究領域課題番号】10640167 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

subharmonic function / Brownian motion / harmonic map / minimal surface / Nevarlinna theory / diffusion process / martingale / Nevanlinna theory / 劣調和関数 / 極小曲面 / ブラウン運動 / 調和写像 / 値分布論 / Brown運動 / 最大値原理 / P-調和写像 / 準線形楕円形作用素 / ディリクレ空間

【研究成果の概要】

まず、本研究の端緒でもあるが、竹腰は、Omori-Yauの最大値原理を幾何学的関数論的に再度見直し、錘への等長挿入の不可能性について、今まで知られていなかった体積の増大度による判定条件を与えた。この研究に触発され厚地は極小部分多様体のこの様な性質は確率完備性が本質的であることを示した。さらに、劣調和関数の確率論的解析により、確率完備性やブラウン運動の再帰性は極小曲面の大域的・関数論的性質に対して種々の統制を与えることがわかった。この様な研究方法は、エネルギー有限の調和写像の非存在定理についても応用された。竹腰は、Schoen-YauのL^2-エネルギー有限な調和写像の非存在定理を、L^p-エネルギー有限なp-調和写像(p【greater than or equal】2)に対するある最大値原理を示すことにより、一般化した。一方、厚地は確率論的方法により、Cheng-Tam-WanのL^2-エネルギー有限な調和写像の非存在定理を捉えなおし、その拡張を与えた。これは、劣調和関数のある種のリューヴィル型定理の新しい簡明な証明(ある種のエルゴード定理を用いる)を含む。この他にも次のような成果が得られた。小松は、滑らかな境界をもつ強擬凸領域におけるベルグマン核・不変なゼゲー核の境界特異性を研究した。二次元領域の場合に,ウェイトが5のCR不変式を決定した。次にこの結果を使って,ベルグマン核とゼゲー核の不変な漸近展開に関する従来の結果を限界まで改良した。金子は、局所ディリクレ空間におけるグリーンの公式の類似を示し、これを用いて再帰性の判定条件を与えた。これはp進体上のランダムウォークにも応用できる。さらに、実数体上で確立されてきた確率解析やディリクレ形式の理論を,ある程度p進体の上でも再現させ得ることを実証した。小谷は、一次元Brown運動の左右の半区間で符号が変わる加法的汎関数の最大値分布の極限定理を示した。これはシナイの結果の拡張であり別証である。また、KdV方程式で初期値がランダムな解について無限ソリトン解の立場から幾つかの結果を得ている。

【研究種目】基盤研究(C)

【研究期間】1998 - 2000

【配分額】3,100千円 (直接経費: 3,100千円)

【研究分野】数学一般(含確率論・統計数学)

【研究領域課題番号】07454034 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

ブラウン運動 / 拡散過程 / オペレーター自己相似過程 / 極限定理 / 群作用の剛性 / 超越数 / エルゴード的変換 / 大偏差原理 / ホワイトノイズ媒質 / 流体力学極限 / 自己相似過程 / ナビェ・ストークス方程式 / 自由境界問題 / ランダム媒質

【研究成果の概要】

本研究は、確率論・エルゴード理論・微分幾何・偏微分方程式等、数学の諸分野の研究者により確率論とその関連解析学における研究を行ったものである。
1.(1)ホワイトノイズ媒質の中のドリフト係数χ(正の定数)をもつブラウン運動(拡散過程)の長時間後の振舞いについて、χが小さいときは片側安定型の極限定理が、またχがある程度大きいときは殆んどすべての見本媒質に対し中心極限定理が成立することが証明された(田中)。(2)オペレーター自己相似過程の極限定理に関する種々の新しい結果が得られた(前島)。(3)大偏差原理の精密な解析において従来の結果を非対称なマルコフ過程の場合にまで拡張することに成功した(田村)。(4)1次元格子上の実数値スピン場の時間発展系の構成とその流体力学極限の問題において新しい結果が得られた(鈴木)。
2.エルゴード理論関係においては、主として有限な不変測度をもたないエルゴード的変換の分類研究が進められ、とくにII型とIII型の変換の分類の不変量として現われる「整数の無限集合」の数論的構造が明らかにされた(伊藤)。
3.群作用の剛性問題に対し確率解析を用いる新しい方法が金井により提唱された。またコンパクト多様体のリーマン計量全体の空間における微分同相写像の群の研究においてゼータ-関数が導入された(前田)。
4.非圧縮性ナビェ・ストークスの研究において、局所解・大域解につき種々の新しい結果が得られた(谷)。
5.超越数の研究において、ヤコビ・データ級数の値の代数的独立性と、フィボナッチ数を用いて定義されるある種の級数値の超越性の証明がなされ、その結果としてLiouvilleの一予想(超越数に関するもの,1851年)が解決された(塩川、他)。

【研究種目】基盤研究(B)

【研究期間】1995 - 1996

【配分額】4,500千円 (直接経費: 4,500千円)

【研究分野】数学一般(含確率論・統計数学)

【研究領域課題番号】05640252 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

複素多様体 / 拡散過程 / ブラウン運動 / ケーラー性 / モレー空間 / ナビエストークス方程式 / アトム分解 / スコーレムの定理

【研究成果の概要】

研究代表者藤田岳彦は以下について調べた。複素多様体上では等角不変な拡散過程が存在しholomorphic diffusionと呼ばれている。論文では.複素次元が2の場合にケーラー性と対称なholomorphic diffusionの存在性が同値であることを示し.また.対称なholomorphic diffusionが存在しないような多様体の例を挙げた.また.同様の問題を複素次元が3以上の場合について調べた。これらの研究は等角構造とフラクタルの関連を調べるうえにおいても基本的な結果であると思われる。
分担者の山崎昌男は.Morrey空間とBesov空間の両方の考え方を組み合わせて.Morrey空間を基礎とするBesov空間というものを構成し.その性質を調べ.その結果をNuvier-Stokes方程式に応用した。これらを名古屋大学の小薗英雄氏との共同研究として.C.R.Sci.Acad.Parisに発表した。
分担者の宮地晶彦は.主にCp^αという関数空間の性質を研究した。与えられた関数を2つの関数の積に分解する因数分解の問題やC^α_P(Ω)の関数をC^α_P(R^n)の関数に延長することに関する結果をMathematica Japonicaに発表した。
分担者の永島孝は主に第1階古典述語論理系およびそれを拡張した一種の無限述語論理系についての研究を行った。古典述語論理については.函数概念の扱いを研究し.その成果の一つとしてスコーレムの定理の新しい証明をHitotsubashi J.Arts Sci.に発表した。

【研究種目】一般研究(C)

【研究期間】1993

【配分額】1,200千円 (直接経費: 1,200千円)

【研究分野】数学一般

【研究領域課題番号】04452011 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

拡散過程 / ブラウン運動 / ランダム媒質 / オペレーター安定過程 / II_∞,III型のエルゴード的変換 / 調和写像 / モース・フロー / 無限次元Lie環 / オヘレーター安定過程 / II∞、III型のエルゴード的変換 / 調和写像とモース・フロー / ポアンカレ・バーコフ・ウイットの定理 / 自己相似過程 / ナビエ・ストークス方程式 / 自由境界問題 / trimmed sum

【研究成果の概要】

本研究では,確率論および関連する解析学の諸問題について確率論・解析学その他数学の広い分野の研究者が分担して研究を行った。各分担者は各種シンポジウムへの出席を通して研究を進展させて行き,研究発表の欄にあるように多くの雑誌にその成果を発表した。
1.ランダム媒質の中の拡散過程の研究においては,媒質がブラウン運動の場合,さらには自己相似的に近いかなり広いクラスのランダム媒質の場合に,その中を動く拡散過程の局在性を証明した。この研究を更に発展させるため,吸収壁レヴィ過程の優調和変換について研究した。また,多次元ブラウン媒質の中の拡散過程は再帰的であるという結果を得た(田中).自己相似過程の研究については,とくにオペレーター安定過程がとりあげられ,その基本的性質,例,極限定理について新しい結果が得られた(前島).
2.エルゴード理論の研究においては,有限な不変測度をもたないエルゴード的変換に特有な性質を種々の歓的から研究し,とくに付随するコサイクルの性質を通して変換の分類問題に対する新しい知見を得た(伊藤).
3)非線型偏微分方程式の研究においては,調和写像型の滑らかなモース・フローの構成がなされた(菊池)。それはある変分汎関数列を考えるもので,その汎関数列に対応するオイラー・ラグランジュ方程式の解析に基づいている。
4.不規則系の解析数論的研究として,ビリヤードモデルをもとにして定義される数列の複雑さについて考察し,新しい結果を得た(塩川)。
5.前田は,無限次元ILH-Lie環に自然に定められたポアソン構造について,その代数的構造の変形可能性を証明した。

【研究種目】一般研究(B)

【研究期間】1992 - 1993

【配分額】6,100千円 (直接経費: 6,100千円)