【研究分野】数学基礎・応用数学

【研究領域課題番号】15K21598 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

非同期観測 / マイクロストラクチャー・ノイズ / 高頻度データ解析 / 最尤型推定量 / 拡散過程 / 漸近有効性 / 疑似尤度解析 / 積分観測モデル / マイクロストラクチャーノイズ / 積分観測 / 高頻度データ / ベイズ型推定量 / 確率過程

【研究成果の概要】

本研究では近年注目されている株価高頻度データの分析に関連して，高頻度データ特有の問題である「非同期観測」やマーケット・マイクロストラクチャー・ノイズを考慮した拡散過程の統計推測問題や関連する統計手法を研究した．拡散過程が非同期・ノイズ付観測される統計モデルにおいて，最尤型・ベイズ型推定量を構築し，漸近混合正規性を示し，拡散過程の係数が非ランダムの時に統計モデルの重要な性質である「局所漸近正規性」を証明し，最尤型・ベイズ型推定量が漸近的に最良の推定量となっていることを証明した．

【研究種目】若手研究(B)

【研究期間】2015-04-01 - 2018-03-31

【配分額】2,730千円 (直接経費: 2,100千円、間接経費: 630千円)

【研究分野】解析学基礎

【研究領域課題番号】15H03625 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

確率論 / ディリクレ形式 / 局所構造 / 拡散過程 / 確率過程 / 幾何構造 / マルコフ過程 / 幾何学

【研究成果の概要】

確率論の研究において，確率微分方程式の理論と相補的な関係にあるディリクレ形式の理論の基礎的な進展を与えた．特に，ディリクレ形式が定める局所構造に基づく空間構造と確率論との関わりを1つの主要なテーマとする成果を挙げた．フラクタルのような，滑らかとは限らず，通常の微分の概念が定まっていないような状況にも有用となることを念頭に置いた理論展開を行った．

【研究種目】基盤研究(B)

【研究期間】2015-04-01 - 2019-03-31

【配分額】11,960千円 (直接経費: 9,200千円、間接経費: 2,760千円)

【研究分野】解析学基礎

【研究領域課題番号】26287017 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

フラクタル / 熱核 / ラプラシアン / Dirichlet form / 力学系 / タイリング / 自己相似集合 / 確率過程 / 拡散過程 / 複素力学系

【研究成果の概要】

自己相似集合や力学系の不変集合などの代表的なフラクタル集合において、その集合を特徴付ける代数的・幾何学的な構造とその上の解析学の相互関係について研究を行った。具体的には、例えば、一般化されたシルピンスキーカーペット上のブラウン運動の特異な測度に対する時間変更について、弱幾何級数的という条件の下で、ポアンカレ不等式を確立し、連続な熱核の存在を示し、測度から定義される距離もどきを用いた熱核の漸近評価を得た。

【研究種目】基盤研究(B)

【研究期間】2014-04-01 - 2017-03-31

【配分額】16,380千円 (直接経費: 12,600千円、間接経費: 3,780千円)

【研究分野】統計科学

【研究領域課題番号】24300107 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

数理統計学 / 拡散過程 / Levy過程駆動型SDE / 疑似尤度解析 / 高頻度不規則観測 / セミマルチンゲール / 非整数ブラウン運動 / ボラティリティ / 確率過程 / 統計数学 / レヴィ過程駆動型モデル / 疑似最尤法 / 高頻度データ解析 / 縮小推定 / ジャンプ過程 / 統計的漸近推測 / 実現ボラティリティ / 漸近分布論 / 確率積分

【研究成果の概要】

拡散型確率過程のサンプリング問題を研究した．高頻度データを用いて確率微分方程式のパラメトリック推測を行う際に，疑似最尤推定量の導出が重要であるが，その推定量を効率よく算出するために，ベイズ型推測と最尤型推測の利点を活用したハイブリッド型推測法を開発し，その数学的正当化を行った．大規模数値実験によって提案手法の有効性の実証を試み，エルゴード的拡散過程や微小拡散過程に対して，ハイブリッド型推定量の漸近挙動が安定していることを確認した．提案手法は上記のモデルだけでなく，一般のモデルに対して適応可能である．また，レヴィ駆動型確率微分方程式の統計推測および高頻度データ解析への応用について研究した．

【研究種目】基盤研究(B)

【研究期間】2012-04-01 - 2018-03-31

【配分額】17,810千円 (直接経費: 13,700千円、間接経費: 4,110千円)

【研究分野】数学一般(含確率論・統計数学)

【研究領域課題番号】19540114 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

確率過程 / 無限粒子系 / ランダム行列 / 非衝突過程 / ダイソン模型 / ベッセル過程 / 拡散過程 / 行列値過程 / Sturm-Liouville作用素 / パフィアン過程 / 彷徨過程

【研究成果の概要】

相関関数が行列式で表現される確率過程は、行列式過程と呼ばれている。本研究期間内で実施した研究により、非衝突ブラウン運動、非衝突2乗ベッセル過程が任意の初期値の下で行列式過程であることを多重直交多項式の理論を用いて証明した。そして、粒子数を無限大にしたときの収束について論じ、その結果として非平衡無限粒子系を構成することができた。さらに、得られた無限粒子系の道の連続性、非衝突性を確かめ、緩衝現象などの性質を示した。

【研究種目】基盤研究(C)

【研究期間】2007 - 2010

【配分額】4,420千円 (直接経費: 3,400千円、間接経費: 1,020千円)

【研究分野】統計科学

【研究領域課題番号】17300089 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

非線形モデリング / 関数データ解析 / 機械学習 / ベイズ理論 / カーネル法 / 計算統計 / 確率過程 / 共分散構造分析 / 因子分析モデル / プロフィールモデル / 多変量確率過程 / 学習理論 / 統計的漸近理論 / モデル選択 / 拡散過程 / 識別・判別 / 空間データ解析 / 統計的学習理論 / 漸近理論 / 非正則モデル / 高次非線形モデリング / モデル評価基準

【研究成果の概要】

高次元データに基づく複雑現象解明を目的として, 非線形多変量解析の理論・方法論の開発研究と応用研究に取り組み, 現象の構造を有効に捉える非線形回帰モデリング, ロジスティックモデルに基づく非線形識別・判別法, リスクを定量的に評価・予測するリスク予測モデルを提唱した. また, 観測・測定されたデータを関数化処理し, 処理した関数化データ集合に基づく解析手法について研究し, 回帰, 識別・判別, 次元圧縮に関して, 関数データ解析手法を提唱することができた. 開発した解析手法は, 生命科学, システム工学, 地球環境科学などの問題解決に応用した.

【研究種目】基盤研究(B)

【研究期間】2005 - 2008

【配分額】14,870千円 (直接経費: 12,800千円、間接経費: 2,070千円)

【研究分野】数学一般(含確率論・統計数学)

【研究領域課題番号】15740079 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

マルチンゲール / エントロピー / 漸近理論 / 中心極限定理 / 確率過程 / ノンパラメトリック推測 / 確率場 / 最大不等式 / 弱収束 / 確率解析 / 拡散過程 / 変化点 / 仮説検定 / 弱拘束

【研究成果の概要】

本研究は、これまで主に独立同一性の仮定で研究されてきたエントロピー法をマルチンゲールに拡張することであった。平成16度までにおいても有界変動をもつマルチンゲールの場合については研究されていたが、今年度においては、ジャンプを無限個もつような場合にまで拡張することに成功した。この結果によって、マルチンゲールに対するエントロピー法の理論は、少なくとも中心極限定理への応用を視野におく範囲に関しては最終結論に達したといえる。この結果は、Annals of Probability誌に投稿中であり、好意的なレビューを受けて改訂中である。
また、その応用として、レヴィ過程のノンパラメトリック推測の理論を展開した。特にNelson-Aalen推定量の汎関数の意味での漸近正規性を証明し、またそれが漸近有効であることも示した。その応用として、適合度検定のためのKolmogorov-Simrnov型統計量の漸近分布も導出した。これらの結果は統計学の基本的な部分に相当し、今後の研究の流れに大きな影響を与えると予想している。
本年度において、これらの成果を世界一流の研究者と議論すべく、さまざまな場で講演を行った。科学研究費補助金の援助を受け、ノルウェー大学において研究発表を行った。また、(科研費の援助ではないが)オランダ王国のGill教授、van der Vaart教授、van Zanten博士を訪ねて有益な議論を行った。このように、本研究は当初の予定通りの成果をもって終了することができた。今後の将来性も期待できる。

【研究種目】若手研究(B)

【研究期間】2003 - 2005

【配分額】1,500千円 (直接経費: 1,500千円)

【研究分野】数学一般(含確率論・統計数学)

【研究領域課題番号】10740058 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

拡散過程 / ランダム媒質 / 確率過程

【研究成果の概要】

1次元のランダム媒質の中を動く確率過程について研究を行なった。多くの場合、ランダム媒質の中の確率過程は、媒質がランダムでない場合のものに比べて非常に遅く変動することが知られている。本研究では、1次元の媒質として、正の部分と負の部分に違う確率過程をとり、その中を動く拡散過程の長時間後の漸近挙動について考察することを目的としていたが、特に、負の部分の媒質としてはブラウン運動を、正の部分には媒質はない場合を考え、このようなランダム媒質の中を動く拡散過程(片側ブラウンポテンシャルをもつ拡散過程と呼ぶ)の長時間後の漸近挙動について研究を行なった。その結果、原点から出発する片側ブラウンポテンシャルをもつ拡散過程に対し、ブラウン運動を不変にする尺度変換をほどこし、極限操作を行なうと、その極限は、確率1/2で非負実数上の反射壁ブラウン運動に、あとの確率1/2で恒等的に原点にとどまる過程になるという結果を得た。また、片側ブラウンポテンシャルをもつ拡散過程の最大値過程と最小値過程の長時間後の漸近挙動についても考察を行なった。(田中洋日本女子大教授、河津清山口大教授との共同研究。)これらの解析を行なうにあたっては、媒質の自己相似性の利用が有効であった。
今後は、1次元の媒質として、負の部分と正の部分に指数の異なる2つの狭義安定過程をとり、その中を動く拡散過程の長時間後の漸近挙動について研究することを計画している。さらには、媒質として、負の部分には狭義安定過程を、正の部分には自己相似性のない確率過程をとり、同様の研究を行なうことも計画している。

【研究種目】奨励研究(A)

【研究期間】1998 - 1999

【配分額】800千円 (直接経費: 800千円)

【研究分野】数学一般(含確率論・統計数学)

【研究領域課題番号】10440029 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

フラクタル / 拡散過程 / 確率過程 / マルチフラクタル / ハウスドルフ次元 / 熱核 / 極限定理 / ベソフ空間 / 固有値分布 / ランダムウォーク

【研究成果の概要】

本研究を通じて、フラクタル上の解析学について以下の成果を得ることができた。
1.フラクタル上の自己共役作用素のスペクトル
自己相似測度をベースとする拡散過程において、測度の自己相似性と拡散過程のスケールがマッチしない際の熱核の短時間漸近挙動を研究した。この場合の漸近挙動は初期点に大きく依存してマルチフラクタルが現れることが分かり、その(ユークリッド距離等に関する)ハウスドルフ次元を計算した。この結果は雑誌に掲載予定である。さらに、フラクタル上に擬距離の族を定め、ある特別な擬距離については上述した次元が単純な形で表現できることを示した。この結果は現在論文に纏めている。
2.ランダムフラクタル上の確率過程の解析
(1)Homogeneous random Sierpinski carpet上の拡散過程とその熱核の評価に関する研究をまとめ、雑誌に掲載された。
(2)空間的な対称性のないrandom recursive Sierpinski gasket上の拡散過程の熱核の短時間漸近挙動を調べ、この挙動に重複対数分の振動が現われることを証明した。この結果は雑誌に掲載された。
3.フラクタル上の確率解析
(1)ユークリッド空間内にフラクタルなどの複雑な系が埋め込まれたモデルにおける熱伝導問題を扱い、実解析で用いられるベソフ空間の理論を援用することにより、内部では系特有の拡散、外部ではユークリッド空間の拡散に従うような拡散過程を解析的に構成した。この結果は雑誌に掲載され、現在は拡散過程の短時間挙動の大偏差原理を研究中である。
(2)T.Lyons氏らによる「ラフパスを持つ確率過程上の確率解析の研究」の発展については、新たな成果を得られなかった。離散近似を手がかりに、彼らの与えた確率微分方程式の性質を詳しく探ることは今後の大きなテーマの一つである。

【研究種目】基盤研究(B)

【研究期間】1998 - 2000

【配分額】7,800千円 (直接経費: 7,800千円)

【研究分野】数学一般(含確率論・統計数学)

【研究領域課題番号】08454040 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

フラクタル / 確率過程 / 自己相似集合 / 熱核 / シェルピンスキーカーペット / ハルナック不等式 / ホモジナイゼーション / 拡散過程 / ランダムウォーク / ハウスドルク次元 / 固有値分布

【研究成果の概要】

1。本研究を遂行する中で、有限分岐的フラクタル上の確率過程についての新たな知見が得られた。P.c.f.self-similar setと呼ばれる自己相似性を持った有限分岐的フラクタルの上にレジスタンスメトリックという距離を入れたとき、この上の拡散過程の熱核(基本解)の精密な評価が一般に可能であるという結果である。これまでに、図形に強い対称性がある場合には熱核のアーロンソン型の評価が得られていたが、今回の研究により、一般にはアーロンソン型の評価は成り立たないことがわかり、さらにショーティストパスの挙動との関連が詳しく調べられた。この結果を熊谷は共著の論文にまとめ、J.London Math.Soc.に掲載予定である。
2。インフィニット、ラミファイド(無限分岐的)フラクタルについては、ランダムシェルピンスキーカーペットに於ける拡散過程の熱核の研究を行い、サンプルとなるカーペットごとの熱核の詳しい評価が得られ、ランダムネスに強いエルゴード性の条件が課せられる時には、この評価からさらに確率1で成り立つ評価が導かれることが分かった。図形が高次元の場合、バーロー・バス達によるカップリングの方法を用いることによりハルナック不等式を証明することが議論の一つの鍵となった。この結果を熊谷は共著の論文にまとめ、投稿予定である。
3。ユークリッド空間での現象とのつながり、特にホモジナイゼーションについては、楠岡氏との共同研究以来くりこみ不変な点の安定性が問題になっている。本研究の中で、海外の学会等で関連した研究を行っている研究者達と議論を行い彼等のプレプリントを読むことによりいくつかの新たな手法、視点を得ることが出来たが、それを我々の範疇に適応するには依然いくつかの技術的困難が残っている。これは今後の課題である。

【研究種目】基盤研究(B)

【研究期間】1996 - 1997

【配分額】1,800千円 (直接経費: 1,800千円)

【研究分野】数学一般

【研究領域課題番号】61540143 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

確率過程 / 自己回帰モデル / 移動平均モデル / 拡散過程 / 時系列解析 / 尤度関数 / ポアソン分布 / 待ち行列

【研究成果の概要】

この研究の目的は、個々に研究されてきている種々の確率過程のモデルや推測理論について、より広い範囲への拡張や一般化、更に数学の種々の分野の理論との関係を調べることにあった。藤井は、定常過程に自己回帰モデルや移動平均モデル等のモデルのあてはめを行い、正規性を仮定してそのモデルのもとで尤度関数の値に注目するとき、もし本当はその定常過程がそのモデルに従っていない時でも、その定常過程のもつどのような性質が検出できるか等を研究した。強い周期成分が含まれているときの検出や問題とする時系列が1つの定常過程の階差でできていることの検出に有効なこと等を示したが、最近注目されている個々のモデルのあてはめの議論を、ある1つの観点から統一的に取り扱うことを試みたものである。そしてそれらの結果をシンポジュウ等で発表したり、来日中の米国,ソ連,中国の研究者と意見交換を行った。矢島も時系列モデルの拡張を発展させた。志賀は集団遺伝学の分野で問題になるモデルである無限次元拡散過程の研究を一般化することを試み、シンポジュウム等で発表した。本尾も拡散過程の性質を一般的に研究することを行った。森村は確率過程のなかでOR等においてよく用いられる待ち行列のモデルについて更にその適用範囲を広める研究を行い発表した。河村はある種の確率過程の研究にしばしば必要となる多変量ポアソン分布についての研究を計算機等も用いて行い、学会等で発表した。数学の種々の分野の理論との関係については、次のような研究を行った。高橋はバナッハ空間における最適値問題との関係で調べ、内藤も解析的方法の面から非線型問題などを調べた。丹野は多様対理論との関係の研究を行った。現在の推測理論には幾何学的な考え方や概念がとりいれられてきており、今後もこのような研究が必要となるであろう。野口は解析的観点から、関数論との関係について研究した。

【研究種目】一般研究(C)

【研究期間】1986

【配分額】2,000千円 (直接経費: 2,000千円)