【研究分野】基礎解析学

【研究領域課題番号】19204010 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

確率解析 / 確率微分方程式 / マリアバン解析 / ラプラシアン / 拡散過程 / 熱核 / 流体力学的極限 / 数理ファイナンス / ディリクレ形式 / ベッセル過程 / 安定過程 / 多様体 / 一般化逆ガウス分布 / 大偏差原理 / マルコフ連鎖 / フラクタル / 第一固有値 / ウィナー空間 / ラフパス / シュレディンガー作用素 / 数値解析

【研究成果の概要】

代表者,分担者のみならず日本国内の研究者の研究の進展に役立てるため,2件の国際会議を含む研究集会を毎年複数開催して日本内外の研究者の研究連絡,共同研究などを行った.また,海外の研究者の招聘し,さらに研究代表者,分担者,連携研究者が海外の研究集会に参加し,研究者を訪問した.これらの活動を通して,確率解析の理論の発展に寄与し,統計力学に起源をもつ問題,微分方程式論,多様体のスペクトル,数理ファイナンスなどの研究への応用に関する研究成果を得た.

【研究種目】基盤研究(A)

【研究期間】2007 - 2010

【配分額】32,500千円 (直接経費: 25,000千円、間接経費: 7,500千円)

【研究分野】数学一般(含確率論・統計数学)

【研究領域課題番号】18340029 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

確率論 / 数理ファイナンス / モンテカルロ法 / 数値解析 / Malliavin解析 / インサイダー取引モデル / market timer現象 / シミュレーション / 制御論 / 確率微分方程式 / 取引費用

【研究成果の概要】

インサイダー取引モデルでは株の値段がジャンプすることを認めるとインサイダーが将来の情報があってもリスクが残ることによって市場の均衡が起こる可能性がある。また、Backモデルの拡張について結果が得られた。確率微分方程式タイプのモデルにも提案した。
確率微分方程式の数値解析では径路方法を構成し、いろんな場合に使えることを期待している。また、密度関数のシミュレーションに対して、分散減少法を作って、その解析ができた。

【研究種目】基盤研究(B)

【研究期間】2006 - 2008

【配分額】10,320千円 (直接経費: 8,700千円、間接経費: 1,620千円)

【研究分野】基礎解析学

【研究領域課題番号】14540148 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

nonlinear partial differential equations / optimal stochastic control / viscosity solutions / Hamilton-Jacobi-Bellman equation / mathematical finances / homogenizations / ergodic problem / numerical analysis / 粘性解理論 / 数理ファイナンス / ホモジェニゼイション / 多重スケールモデル / 非完備金融市場モデル / 最適制御理論 / エルゴード問題 / 偏微分方程式の数値解析 / 非線形退化楕円型方程式の解の平滑性 / 非線形熱方程式の解の安定性 / ショックの現れる非線形一階偏微分方程式の解の存在と一意性 / ハミルトンャコビベルマン方程式の数理ファイナンスへの応用 / 界面の発展方程式 / 変分法の数理生物学への応用 / 非線形偏微分方程式の数値解析 / 確率解析と非線形偏微分方程式の関わり

【研究成果の概要】

本計画は,非線形楕円型及び放物型偏微分方程式の新しい問題,手法,応用を開拓しようという意図の下に計画された.特に,確率過程や決定力学系の最適制御問題を記述する偏微分方程式について興味が持たれた.
一年目は,ある確率偏微分方程式の粘性解理論による取り扱いが研究され,同時に数理ファイナンスに現れる手数料付オプションの価格付けの問題考察が始められた.代表者は,これらの共同研究のため6ヵ月間パリ第9大学に滞在し(稲盛財団),数値解析も共同研究者と共に行った.2年目は,主に数理ファイナンスに現れる偏微分方程式,特に上記手数料付問題に現れる自由境界問題とその中の漸近解析,ジャンプを含む株価モデルへのオプション価格付け問題について研究した.後者は積分項付の偏微分方程式に対応する.代表者は,確率制御問題に関する退化楕円型偏微分方程式の解の平滑性の論文を書き,確率偏微分方程式に関係して非線形一階偏微分方程式の解のショック生成についての論文を準備中である.上記の数理ファイナンスの研究成果も発表準備中である.
また,代表者は本計画実行中に得られた知見をもとに,情報科学研究科大学院博士前期過程で,非線形楕円型及び放物型偏微分方程式,数理ファイナンスに現れる最適制御問題そして数値解析の授業を行った.

【研究種目】基盤研究(C)

【研究期間】2002 - 2003

【配分額】4,100千円 (直接経費: 4,100千円)

【研究分野】社会システム工学

【研究領域課題番号】13680509 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

漸近展開 / マリアバン解析 / 数理ファイナンス / 数値計算 / 金融工学 / ファイナンス / デリバティブ / ポートフォリオ / 金融経済 / デリバティヴ / マリアヴァン解析 / 数値解析 / 金融経済学 / 最適ポートフォリオ / オプション / 確率数値解析

【研究成果の概要】

1.状態変数が拡散過程で記述される場合、必ずしも拡散過程では記述できない場合の派生商品の値付けにおける漸近展開による近似法の数学的基礎付けをマリアバン-渡辺理論により完成させた。("On Validity of the Asymptotic Expansion Approach in Contingent Claim Analysis,"Annals of Applied Probability(2003))
2.動的ポートフォリオ理論において状態変数が拡散過程に従う揚合の最適ポートフォリオをOcone-Clark公式を活用し数値的評価が可能な表現を与え、漸近展開手法を用いた近似式を導出し、数値実験によりその有効性を確認した。("An Asymptotic Expansion Scheme for the Optimal Investment Problems,"Statistical Inference for Stochastic Processesに掲載予定。)
3.原資産価格の確率過程が一般の拡散過程に従う場合、アメリカンオプション価値をヨーロッパ型の価値と期限前行使価値とに分解できることを示し、その各々に漸近展開法を適用することで擬似解析的な計算スキームを開発した。(「漸近展開法を用いたアメリカンオプションの評価法」金融研究(2003))
4.漸近展開による近似を用いモンテカルロ・シミュレーションの効率性を向上させる手法を考案し、マリアバン解析による数学的正当化を行った。応用例として、瞬間的フォワード金利が必ずしもマルコフ型とならない確率過程に従う金利モデルの揚合の派生証券価値の評価、原資産価格がジャンプ・拡散過程に従う場合のオプション価値の評価などがある。
("Applications of the Asymptotic Expansion Approach based on Malliavin-Watanabe Calculus in Financial Problems," Stochastic Processes and Applications to Mathematical Finance他に掲載予定。)
5.漸近展開法によるファイナンスの数値的問題の研究を集大成し,国友教授と共に本を出版した。
「数理ファイナンスの基礎・マリアバン解析と漸近展開の応用-」(2003)

【研究種目】基盤研究(C)

【研究期間】2001 - 2003

【配分額】3,100千円 (直接経費: 3,100千円)

【研究分野】数学一般(含確率論・統計数学)

【研究領域課題番号】13440029 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

数理ファイナンス / デリバティブ / リスク尺度 / 数値計算 / マリアバン解析 / 自由リー環 / 確率微分方程式 / ルンゲ・クッタ法 / アクチュアリー / 生命保険 / 数値解析 / ファイナンス / リスク / 法則不変 / 多期間モデル / 連続極限 / フィルトレーション / ルンゲ・クッタ / リー環 / 拡散過程 / モンテカルロ法 / アメリカンオプション / ヨーロピアンオプション / 加法過程 / 特性関数

【研究成果の概要】

本研究の目的は、市場が完備でない場合や取引費用、空売り制約、税金などの摩擦要因のある場合に、ヨーロッパ型、アメリカ型をはじめとするデリバティブの価格を金融機関が決定するにあたり、リスク尺度(Risk Measure)に基づくリスク管理という観点から考えればどのようになるかということを研究することにあった。
まず、リスク尺度で金融機関が使いやすいものとして、Artzner-Delbaen-Eber-Heathの提案したコヒーレントなリスク尺度というものがあるが、さらに新しい概念として法則不変(Law Invariant)というものを導入し、法則不変なコヒーレントリスク尺度の分類を行った。
次にデリバティブ価格の計算のために、効率的な数値計算の新手法の研究を行った。
まずアメリカ型のデリバティブの計算方法について、近年、値関数を多項式等で近似するという方法がLongstaff-Schwartzらにより提唱されているが、それらの方法の理論的正当性を証明すると同時に、その理論的限界についても考察した。これの理論的考察により、どのような改良の余地があるかについても明らかにした。
ヨーロッパ型デリバティブの数値計算法については、マリアバン解析に基づく確率微分方程式とリー環を用いた全く新しい方法を導入し、改良を重ねていった。具体的に言うと、まずm-similarなマルコフ作用素の概念を導入し、さらにm-L-similarな確率変数という概念を導入し、昨年度までの近似方法の自由度を大幅に高め、同時に逐次確率積分の代数的な性質についても解明した。また、常微分方程式の近似方法として有効なルンゲ・クッタ法を活用し、m-Similarなマルコフ作用素の具体的構成法やm-L-similarな確率変数の具体型についての研究を行い、実行可能なアルゴリズムの研究を行った。

【研究種目】基盤研究(B)

【研究期間】2001 - 2004

【配分額】11,100千円 (直接経費: 11,100千円)