【研究分野】数学基礎・応用数学

【研究領域課題番号】15H03635 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

不連続Galerkin法 / 有限要素法 / 楕円型方程式 / 放物型方程式 / 非線形問題 / 誤差解析 / 構造保存型数値解法 / 発展方程式 / 数値解析 / 有限体積法 / 不連続ガレルキン法 / 楕円型界面問題

【研究成果の概要】

有限要素法（FEM）と有限体積法(FVM)の長所を両立した高精度拡張版である不連続Galerkin法（DG 法）およびハイブリッド型のDG法（HDG法）に対して，その数学的基盤理論を確立した．特に，理論だけ作って応用は計算現場に任せる，という消極的な立場を超えるため，具体的な応用を設定した上で，要請される基礎理論の構築を行ったことが本研究の特徴である．具体的にはFEMやFVMでは困難の多い，異方拡散問題や数理生物に現れる非線形移流拡散，退化拡散問題，時間非定常問題に対して，構造保存（流束，正値性，エネルギーなど）と解析理論（実用的な意味での安定性と収束性など）を両立した計算手法を構築した．

【研究の社会的意義】

偏微分方程式の数値計算に基づくシミュレーションは，現代における最も強力な科学技術の一つであり，数学的な立場からの数値計算方法の研究（数値解析）は，これらの科学技術の屋台骨を支える基盤と言える．しかし，数学者と技術者では，研究の方向性が異なり，実際，経験に大きく依存した大規模計算によるスピード感ある研究に，数値解析の理論が追い付けてなかった．しかし，この溝を放置すれば，数学的方法における数学の不在に繋がり，発展は頭打ちとなるであろう．本研究は，数学理論のこの溝を埋めつつ，数値解析自体の更なる深化を実現した．

【研究種目】基盤研究(B)

【研究期間】2015-04-01 - 2019-03-31

【配分額】16,770千円 (直接経費: 12,900千円、間接経費: 3,870千円)

【研究分野】数学一般(含確率論・統計数学)

【研究領域課題番号】19540115 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

応用数学 / 解析学 / 数値解析 / 誤差解析 / 有限要素法 / 不連続ガレルキン法 / 事後誤差評価 / ハイブリッド変位法

【研究成果の概要】

有限要素法に密接に関連する数値計算法として近年注目されている不連続ガレルキン法について,その理論的解析や新しい手法の開発と改良,具体的問題への適用などの研究をし,成果を得た.また,その事後誤差解析に関して,必要とされる誤差定数を何個か明らかにし,その一部について具体的な値や上界を求めた.数値例による検証も実施し,理論結果の妥当性や新たな課題の発見,本手法の可能性などに関する知見を得た.特に,不連続ガレルキン法は,近似関数や要素形状の選択に関して自由度が高く,その点で従来の有限要素法を改良できる可能性があることなども判明した.

【研究種目】基盤研究(C)

【研究期間】2007 - 2009

【配分額】4,420千円 (直接経費: 3,400千円、間接経費: 1,020千円)

【研究分野】解析学

【研究領域課題番号】07640173 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

微分方程式 / 離散化 / 数値解析 / 誤差解析 / 有限要素法 / 数値実験

【研究成果の概要】

本研究では、微分方程式の数学的研究を基礎とする数値計算法の開発、解析、実証、さらには数値シミュレーションによる微分方程式の解の性質の解明などへのフィードバック等を目的とする。特に固体力学(なかでも平板の面内伸および面外曲げ問題)、流体力学、電磁場問題など、工学、産業からの要求の高い分野での数値計算法の開発、検証を目指し、工学者の対応のみでは限界に達している分野に何らかの解決の糸口を見つけけることを目指した。
本年度の研究では、等に工学などで広く用いられている有限要素法等を、偏微分方程式の数値解析手法としてとらえ、計算法の考案、有限要素モデルの開発、改良と評価、数学的な誤差解析などを実施した。
まず、有限要素法モデルの開発と改良の研究を実施した。特にセレンディピティ要素の改良と誤差評価、板曲げ用の有限要素の開発と数値実験などに力点を置いた。前者については、8節点2次セレンディピティ要素の改良法を考案し、研究しさらにその誤差評価を実施し改良が実際に有効なことを確認している。後者については、各種の要素の開発と検証を実施している。とくに、混合法において時に生じる数値的不安定性を解消するため一種の安定化法を考案し、四辺形要素を開発した。得られた要素の一部は形状最適化プログラムOPTISHAPEのプログラムライブラリーに組み込まれ、一般ユーザーが利用できるようになっている。また、開発にあたっては、数値解析装置の備品を有効に活用した。
そのほか,従来からの研究課題である静磁場問題の解析法の研究を継続している。また分担者と協力して、有限要素法の数学的定式化と誤差評価などの数学的基礎の研究をすすめ、とくにLarangeの未定乗数法に基づく有限要素法である混合型有限要素法の各種の応用などを目指している。

【研究種目】一般研究(C)

【研究期間】1995

【配分額】2,200千円 (直接経費: 2,200千円)