【研究分野】数学一般(含確率論・統計数学)

【研究領域課題番号】20224001 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

数値解析 / 精度保証付き数値計算法 / 解の数値的検証 / 解の事後誤差評価 / 計算機援用証明 / 非線形現象 / 有限要素法

【研究成果の概要】

非線形偏微分方程式に対する解の数値的検証法の開発とその適用を中心として研究を進め、特に、これまでほとんど研究例を見ない非線形発展方程式に対し、十分有効な数値的検証原理を見出すことに成功した。また、従来から蓄積してきた楕円型方程式の解に対する解の検証方式に新たな知見を加え、その拡張・改良を行うとともに、流体方程式をはじめ理論解析が困難な実際問題に適用して数値的証明を行い、その有効性を実証した。

【研究種目】基盤研究(S)

【研究期間】2008 - 2011

【配分額】84,890千円 (直接経費: 65,300千円、間接経費: 19,590千円)

【研究分野】数学一般(含確率論・統計数学)

【研究領域課題番号】15204007 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

数値解析 / 精度保証付き数値計算法 / 解の数値的検証 / 解の事後誤差評価 / 計算機援用証明

【研究成果の概要】

研究期間中、各分担者とも、個別の問題によらない無限次元・有限次元の共通的精度保証付き数値計算およびその関連数値計算方式の開発に対して恒常的に取り組み、その改良・拡張と、新たな方式の検討を行った。また、実際の現象に即した問題に対する、数値的検証の実例も与えその有効性の実証に努めた。また、内外の研究集会に参加し、講演討論を行い、研究成果の発信を行うとともに活発な研究情報を交換し、新たな研究の進展を図った。主な研究実績は以下の通りである。
1.共通的数値検証理論とその実装
(1)任意領域における楕円型方程式、定常Navier-Stokes方程式の解に対する数値的検証のために、Poisson方程式、および2次元重調和方程式の有限要素解に対する構成的事前誤差評価について検討し、十分な実用性をもつ評価定数の算定を行った。(中尾、山本、田端、土屋)
(2)非線形楕円型方程式のdouble-turning-pointの数値検証を定式化しその実例を与えた(皆本)
(3)1階微分項を持つ2階楕円型方程式の数値検証の効率化について検討した(中尾、渡部)
(4)線形化作用素の逆作用素ノルムを直接評価し、それを用いた無限次元Newton法にもとづく新しい検証方式の検討を行い、その適用による有効性を確認した。(中尾)
(5)有限次元一次相補性問題の解の精度保証付き計算について検討しその方式を定式化した(陳)
(6)連立一次方程式の解の高速精度保証について検討しその大幅な改良を得た(大石)
(7)多培長演算ソフトウェアを実装し超高精度近似解の計算を可能とした(今井)
(8)非線形振動問題に関する計算機援用可能な分岐理論を定式化しその応用例を与えた(川中子)
2.個別問題の解に対する数値的検証方式とその適用
(1)2次元熱対流問題の大域的分岐解の検証付き追跡および分岐点の存在検証を行い、さらに3次元問題に対してもその拡張を図った(西田、中尾、渡部)
(2)線形化Navier-Stokes作用素の固有値問題であるKolmogorov固有値問題の精度保証付き数値計算によりトーラス上の流れの安定性を検証した(長藤)
(3)水面波の数学モデルであるNekrasov積分方程式の精度保証付き数値計算を実現した(村重)

【研究種目】基盤研究(A)

【研究期間】2003 - 2006

【配分額】32,240千円 (直接経費: 24,800千円、間接経費: 7,440千円)

【研究分野】数学一般(含確率論・統計数学)

【研究領域課題番号】13440035 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

数値解析 / 精度保証付き数値計算法 / 解の数値的検証 / 計算機援用証明

【研究成果の概要】

平成13および14年度とも、個別の問題によらない共通的精度保証方式の開発および従来方式の拡張・改良をはかるとともに、流体力学や振動問題などの具体的問題に依存した応用解析学上の問題に対する、計算機援用証明を行った。また、精度保証に関連する数値解析技法の検討を行った。主な研究実績は以下の通りである。
・共通的精度保証方式
(1)楕円型境界値問題の解の数値的検証に関し従来方式の拡張改良として以下の成果を得た。
(i)微分項を含む方程式に対する解の検証において、有限次元部分の計算法の効率化を行い検証対象の拡大を計ることに成功した(中尾、渡部)
(ii)重複または近接固有値をもつ楕円型固有値問題の精度保証を実現した(中尾、渡部)
(iii)double turning pointの検証定式化とそのperturbed Gelfand方程式への適用を行った(皆本)
(iv)非線形楕円型方程式の厳密解で線形化した固有値問題の精度保証付き計算(中尾、長藤)
(2)周期解を持つDuffingタイプの非線形発展方程式の分岐点自体の存在に対する検証を定式化し、その具体的検証例を与えた(川中子)
(3)第2種変分不等式の解に対する数値的検証方式を定式化し、その具体例を与えた(中尾)
(4)非線形方程式、連立一次方程式の解の高速精度保証のアルゴリズムを検討し、その効率化を行った(大石、陳、藤野)
(5)有限要素解の近似能力を精度保証付きで検証するために、任意メッシュ上での最良apriori誤差評価定数の精度保証付き計算法について検討した(山本野人)
(6)高精度多倍長演算方式の検討とその具体的応用例を与えた(今井、磯)
(7)adaptiveなメッシュによる差分解法の収束性について検討し2点境界値問題の特異解に対する適用性に対する知見を得た(山本哲朗)
・個別問題に対する精度保証に関する研究
(1)理論的証明の困難な熱対流問題の分岐解に対し計算機援用方法による数値的証明を行った(中尾、西田、渡部)
(2)Kolmogorov問題について計算機援用証明を行いaspect比と安定性の関係に対する知見を得た(長藤)
(3)Orr-Sommerfeld方程式の固有値問題の精度保証により不安定解の存在を数値的に検証した(中尾、渡部)
(4)電気回路問題に現れる非線形方程式の解の精度保証付き計算(奥村)

【研究種目】基盤研究(B)

【研究期間】2001 - 2002

【配分額】17,000千円 (直接経費: 17,000千円)

【研究分野】数学一般(含確率論・統計数学)

【研究領域課題番号】10440031 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

数値解析 / 精度保証付き数値計算法 / 解の数値的検証 / 計算機援用証明

【研究成果の概要】

個別の問題によらない共通的精度保証方式の開発および従来方式の拡張・改良を計る、液体の流れ問題などの自然界における具体的現象に即した個別問題の精度保証、および関連数値解析技法の検討を行った。研究を進めるに際しては、代表者(中尾)が全体をとりまとめつつ、各研究分担者と関連研究者の協力を得て恒常的に検討を進めた。主な研究実績は以下の通りである。・共通的精度保証方式
1.中尾、山本野人、渡部は共同して偏微分方程式の解に対する精度保証方式について検討し、具体的計算アルゴリズムの開発について研究を進め、楕円型境界値問題に対する従来方式の拡張として以下の成果を得た。(1)非線形楕円型方程式の球対称解の分岐曲線の包み込み(2)2階楕円型作用素の固有値の精度保証の定式化とその実現(3)変分方程式の解に対する数値的検証法の定式化と数値例(4)Stokes方程式の有限要素解に対する構成的a posteriori/a priori誤差評価(5)定常Navier-Stokes方程式の解に対する数値的検証アルゴリズムとその数値例
2.大石は高速精度保証アルゴリズムの基本的な方法を確立し実際的なアルゴリズムを実現した。
3.菊地は電磁場問題の有限要素法に関する誤差解析について、理論的・数値的知見を得た。
4.酒井は主に常微分方程式の近似解のスプライン関数による表現法について研究を進めた。
5.藤野は全根同時反復の加速法、および並列計算機上での高速化技法の研究を進めた。
6.三井は常微分方程式の初期値問題の解に対する精度保証方式について検討した。
7.山本哲朗はDirichlet問題に対するShortley-Weller型差分析の誤差精度の理論的・数値実験的検討を進めた。
・個別問題に対する精度保証に関する研究
1.田端は流体方程式に対する有限要素法による数値計算の誤差精度に関する考察を行った。
2.西田は流体方程式系の解空間の構造を解析するために、計算機援用証明法の研を行った。
3.西田は流体方程式系の解空間の構造を解析するために、計算機援用証明法の研究開発を進めた。
4.室田は構造工学の分野における計算の信頼性に関し、群論的分岐理論を用いた考察を行った。

【研究種目】基盤研究(B)

【研究期間】1998 - 1999

【配分額】11,900千円 (直接経費: 11,900千円)