【研究分野】数学一般(含確率論・統計数学)

【研究領域課題番号】16340025 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

期待効用最大化問題 / 準変分不等式 / 取引費用 / インサイダー取引 / 粘性解 / ハミルトン・ヤコビ方程式 / 大偏差確率制御 / 線形ガウス型市場モデル / リスク鋭感的ポートフォリオ最大化 / super kernel / 密度関数推定 / モーメント問題 / 期待効用最大化 / スペクトル理論 / HJB方程式 / 最小エントロピー測度 / べき型期待効用最大化 / 最適制御 / 指数型ウィナー汎関数 / 最小エントロピー / ファクターモデル / Hamilton-Jacobi-Bellman方程式 / 確率制御 / ブラウン運動

【研究成果の概要】

・無限時間範囲べき型期待効用最大化問題を、取引費用透考慮に入れて考察した。対応する、"エルゴード型"リスク鋭感的準変分不等式を導いた。"エルゴード型"リスク鋭感的準変分不等式の解は、ある関数と定数の組からなるが、その関数を用いて最適戦略の構成を行い、また、その定数が最適値を与えることを示した
・インサイダ取引のモデルに対して均衡価格の問題を研究した。また、作ったモデルでインサイダは株価格に影響しても安定な均衡価格が存在する事を証明した。
・ハミルトン・ヤコビ方程式の解の時間無限大における振舞いについて研究し,一般次元ユークリッド空間上において漸近解への収束することを比較的一般な仮定の下で証明した.
・半連続$L^p$粘性解の概念を導入し、修正版Perronの方法による$L^p$粘性解の存在を示した。また、方程式が一様楕円性を持つ時、この粘性解がヘルダー連続になることを示した。
・数理ファイナンスに現れるobstacle問題の粘性解の微分可能性を高めることで、フィードバック最適制御を構成した。
・非完備な市場モデルである線形ガウス型市場モデルを取り上げ、資産増加率が予め定めた値を超えない確率(ダウンサイドリスク)、を最小化する問題を考察し、その時間大域的挙動が、リスク鋭感的ポートフォリオ最大化問題の双対として特徴付けられることを示した。

【研究種目】基盤研究(B)

【研究期間】2004 - 2007

【配分額】16,740千円 (直接経費: 15,600千円、間接経費: 1,140千円)

【研究分野】数学一般(含確率論・統計数学)

【研究領域課題番号】15540116 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

ポアンカレ上半平面 / ラプラシアン / ブラウン運動 / セルバーグ跡公式 / 指数型ウィナー汎関数 / ベッセル過程 / ウイシャート過程 / リーマン対称空間 / 拡散過程 / レヴィの定理 / ピットマンの定理

【研究成果の概要】

ポアンカレ上半平面(双曲平面)上のラプラシアンに対応する拡散過程である,上半平面上のブラウン運動を与える確率微分方程式は具体的に解くことができ,ウィナー汎関数としての明示的な表示をもつ.本研究においてはこの事実の拡張として,上半平面上のブラウン運動の正規直交枠束への水平持ち上げもまた,ウィナー汎関数としての表示をもつことを示した.この表示をもとに,微分形式に作用するラプラシアンに対する熱核の確率論的な表現を与えて,上半平面のその等距離変換群の双曲的部分群による商空間として与えられるコンパクトなリーマン面上における,微分形式上のセルバーグ跡公式を証明した.調和解析を用いない,解析的または幾何学的な証明となっている.また,次元を2と限っているために跡公式も極めて具体的な形となっている.
一般次元の場合への拡張に関する研究を現在継続中である.2次元の場合は補助的なブラウン運動を導入することによって,水平持ち上げの回転部分をうまく表現することができたことが成功の要因と思われるが,多次元の場合にこれに相当する表現が見つかっていない.今後の課題としたい.この部分が突破できると,これまでの研究の基礎となっているマッキーンの考え方に従ってセルバーグ跡公式の証明ができると考えている.
上半平面上の解析に確率論を応用する際,幾何ブラウン運動を時間に関して積分して得られる指数型ウィナー汎関数が現れる.同じ汎関数が数理ファイナンスの理論やランダム媒質中の拡散過程の研究に現れるため,現在でも研究が続いている.海外共同研究者のヨール教授と共同で,これまでに知られている研究成果および応用をまとめ,また解析的な立場から研究成果を整理して発表した.

【研究種目】基盤研究(C)

【研究期間】2003 - 2005

【配分額】3,500千円 (直接経費: 3,500千円)