Discovery Sagaサイレントキーワード俯瞰

確率論 / 数理科学 / 大数の法則 / 数理統計学 / 確率過程論 / 流体力学極限

本研究は，確率順位付け模型と呼ぶ粒子系の流体力学的極限についての応募者自身のこれまでの研究成果を土台として，その数学的な広がりや基礎付けのより良い理解を含めてあらゆる方向への発展可能性の研究を目的とする．さらに，この課題に至った申請者の研究姿勢に基づいて，特定の模型や問題にこだわらず，広く他分野や現実の現象の数学的特徴を抽象して，精密な極限定理を中心とした数学的性質を見出すことを目的とする．良く言えば世界的に他の追随を許さない独創的研究と自負するが，逆に言えば，基礎研究に対する余裕が小さい時代に選択や集中から漏れる側かもしれない本研究の特色に鑑みて，特に本科研費研究課題期間はこれまで，成果についての原著論文の出版や関連する基礎事項についての教科書の執筆など，完成度を高めて後世に残すことに時間を割いてきた．
主要論文の採択・出版，総説の出版，基礎となる測度論の教科書などを前年度までに済ませてきたが，本年度に取りかかった大学初年級向けの統計学の教科書の執筆が難航している．統計についての初等・中等教育が文科省指導要領の改訂で強化される一方，大学の数学教育の水準が下がって微分積分や線形代数などの大学の初年級教育の守備範囲が後退する中で，それらを要する大学初年級水準の数学としての統計学の範囲を決めるという，数学教育の混乱状況が見られる．さらに著作権が文化よりも経済的利益として扱われる時代を背景に，出版業界の著作の専門性や難しさに対する考え方の後退も見られ，著作の構成に労力と時間を割かれている．
なお，狭い意味の目標であった確率順位付け模型については前年度までに一応の完成としたことを受けて最終年度前年度応募していたところ採択をいただいたので，上記を含む基礎事項関連の教科書の執筆は次の研究課題に進むための土台となる．

確率論 / 数理科学 / 確率過程論 / 大数の法則 / 流体力学極限 / 粒子系 / 確率順位付け模型 / 流体力学的極限

ウェブで見られるランキングの時間発展のモデルとなる確率順位付け模型の位置強度結合経験分布の大数の法則（流体力学極限）と軌道についてのカオスの伝搬の証明を，強度（先頭に跳ぶ確率を与える点過程を定める関数）が位置依存性を持つ場合に一般化した．この一般化は，極限を記述する点過程の強度が直前の到着時刻に依存する非独立増分であるなど，強度が位置依存性を持たない場合の非自明な摂動問題である．確率順位付け模型はネット書店の売上順位の時間変化のモデルで，ロングテール構造の数理解析の基礎模型となる．強度の位置依存性は好順位の注目効果を意味する．

急速な発達によって時代を特徴付けるに至った計算機とネットワーク環境によって，インターネット小売業のような大規模なアイテムの人気度の全順位がリアルタイムで更新される現象が可視化されオンライン中古市場のように経済的な意味を持つ時代に，実際のデータと現象の対応する数学的な方程式を「細いがまっすぐな道でつなぐ」こと（末節をそぎ落とした論理的中核の抽出）に成功した．世界的に例のない独自の研究である．最終的に到達した強度の位置依存性効果は，ランキングデータ自体の宣伝効果を与えるもので，数学的に精密で非自明な結果であり，将来技術が追いついてきたときに前もって筋の良い理屈を用意できていることを意味する．

確率論 / 確率解析 / 確率過程 / 極限定理 / エルゴード理論 / モンテカルロ法 / 確率過程論 / 数理ファイナンス / マリアヴァン解析 / ランダム分割

本研究は確率論が本来持つ横断性を有機的に活用・発展させるために,様々な研究テーマの下で第一線で活躍する確率論研究者たちを分担者として,彼等の研究の総和をもって我が国の確率論研究に貢献することを目的としている.
当該研究期間内に4つの国際シンポジウムの主催・共催(確率論と数論,大規模相互作用系の析,数理ファイナンスに関するもの2つ),26の国内研究集会の主催・共催(うち毎年開催したのは,確率論サマースクール,ランダム作用素,エルゴード理論,確率論シンポジウム)に携わり,延べ285人の旅費(うち外国旅費13件)を負担した.
研究成果は多岐に渡る.例として代表者の研究成果を3つ述べる.(1)モンテカルロ法を確率的ゲーム(賭け)として定式化しコルモゴロフの乱数理論を用いることによって,モンテカルロ法におけるサンプリングの本質的な問題を明らかにした.さらにその解決のためには暗号理論における疑似乱数生成器の安全性の考えが有効であることが分かった.とくにモンテカルロ積分の場合には「ペアごとに独立なサンプリング法」が安全な疑似乱数生成器を実現していることを指摘した.(2)任意の有限体を係数に持つ2つのmonic多項式が互いに素である確率をアデール完備化を通して,拡張されたエルゴード定理を用いて計算した.(3)自然数列の代わりに独立確率変数の和の列を考えることにより,di-gamma関数のランダム化を考え,それに関する中心極限定理について研究した.これは半直線上のランダムな電荷分布の作るポテンシャルの揺らぎに関する結果と見ることができる.

【研究分担者】
竹田雅好	東北大学	大学院・理学研究科	教授	(Kakenデータベース)
谷口説男	九州大学	大学院・数理学研究院	教授	(Kakenデータベース)
会田茂樹	大阪大学	大学院・基礎工学研究科	教授	(Kakenデータベース)
盛田健彦	広島大学	大学院・理学研究科	教授	(Kakenデータベース)
日野正訓	京都大学	大学院・情報科学研究科	准教授	(Kakenデータベース)
濱名裕治	熊本大学	理学部	教授	(Kakenデータベース)
井上昭彦	北海道大学	大学院・理学研究科	助教授	(Kakenデータベース)