【研究分野】基礎解析学

【研究領域課題番号】20340032 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

場の量子論 / 無限次元解析 / 散乱理論 / スペクトル解析 / 汎関数積分 / 基底状態 / 半群 / 確率過程 / 1パラメター半群 / レヴィー過程

【研究成果の概要】

量子場相互作用系の基底状態の解析を行った.また汎関数積分表示を用いて非摂動的にその系の無限次元的な解析を行った.特にローレンツ多様体上に定義されたネルソン模型の基底状態の存在・非存在を示し,超局所解析をつかって紫外切断をはずした.続いて不定計量ヒルベルト空間に定義されたPauli-Fierz模型の完全漸近性を示した.Enhanced bindingについてはPauli-Fierz模型のno-binding領域を特定し,相対論的なNelson模型のenhanced bindingを示した.汎関数積分表示に関してはスピン1/2をもった相対論的シュレディンガー作用素の生成する熱半群をブラウン運動,ポアソン過程,subordinatorを用いて表し,非自明なエネルギー不等式を得た.またラプラシアンのベルンシュタイン関数から作られる一般化されたシュレディンガー作用素に対しても同様の経路積分表示を構成し, 場の理論のスピンーボゾン模型にもこれを応用し基底状態の一意性を示した.さらに確率2重積分をポテンシャルに持った無限体積Gibbs 測度の存在を示すことに成功した.

【研究種目】基盤研究(B)

【研究期間】2008 - 2010

【配分額】11,700千円 (直接経費: 9,000千円、間接経費: 2,700千円)

【研究分野】数学一般(含確率論・統計数学)

【研究領域課題番号】12874016 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

複雑度 / 確率解析 / フラクタル / 無限次元空間 / 漸近挙動 / ノイズ / Dirichlet形式 / 半群 / 対称拡散過程 / 確率過程 / ループ空間 / ウィーナー空間 / ディリクレ形式

【研究成果の概要】

本研究に際しては,各研究分担者は密接に連絡を取り合いながら各々が独自のテーマを研究するという形態をとった.実施結果は以下の通りである.
若野は,二次元弾性体中の曲線亀裂先端での応力集中現象の数学解析と数値解析について,二次元「全平面」内の亀裂問題に対して得られていた結果が二次元「有界領域」内の亀裂問題についても同様に成り立つことを検証した.
日野は,一般の局所Dirichlet形式に付随するMarkov半群に関して,積分化されたVaradhan型の短時間漸近挙動について研究を行い,極限が内在距離を用いて表現できることを証明した.系として,フラクタル集合上の対称拡散過程についてwalk次元の評価式を得た.(J.A.Ramirezとの共同研究)
重川は,半群の優評価定理と,交換定理(あるいは交差定理)について主に研究してきた.さらにその応用として,Riemann多様体上でのLittlewood-Paleyの不等式の証明や,L^p乗法作用素定理などの証明を与えた.
熊谷は,空間内に複雑な系が可算無限個存在し,それぞれの系については熱伝導に関する情報がある程度分かっているようなモデルについて,各々の系にしみ込む拡散過程を構成し,その熱核の短時間挙動についての詳しい評価を得た.
渡辺は,WalshのBrown運動勲に関連して,Riemann面上のBrown運動の道に沿った有理型微分形式の積分(Abel積分)の漸近挙動について研究した.また,Tsirelsonが確率過程の表現の問題に関連して導入したノイズの概念に関し,Fellerの1次元拡散過程から比較的容易に構成出来るblack noiseの例を与えた.

【研究種目】萌芽的研究

【研究期間】2000 - 2001

【配分額】1,500千円 (直接経費: 1,500千円)

【研究分野】数学一般

【研究領域課題番号】02640192 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

制御理論 / rondom processe / 確率微分方程式 / 半群 / Kullback情報量 / cox'sモデル / ランダム・プロセス / 最適問題 / HーJーB方程式 / ポ-トフォリオ / Kulbackの情報量 / 確率過程 / 最適制御 / 発展作用素 / 力学系 / Dynamic programing

【研究成果の概要】

様々な分野でrandom processeに関連した最適問題がある。これらの問題を収集して数学的な問題としてFormuiateしてきた。
例えば、2階偏微分方程式の粘性解の研究の動機として知られているHーJーB equationは確率微分方程式で記述される系の最適問題から導かれる。一般には、このタイプの方程式で通常の意味での解を求めることは困難であり、従ってさらに最適制御を特徴づけることはさらに困難であろう。しかし、制御が一次同次形であるportfolioの問題の特別な場合にはelliptic partが特別な形をしていることから、ある制限の下では変数変換によって具体的な解の表現が得られた。さらに一般的なクラスで、一般化された半群として具体的に表現された解を見つけて、最適制御の特徴づけを試るみことが今後の課題である。また、portfolioの問題に関連してpricingの問題がある。nonーarbitrageと言われる条件を満たすpricing systemの研究が進められている。
また、医療統計や、心理学の実際的な場面で問題になる対立するいくつかの確率モデルの間の最適性の問題がある。その一つの方法はAkaikeの提案によるKullback情報量に関する最適性であるが、この情報量の解析的な性質は未だほとんど研究されていない。殊に、医療情報でのようにcensorと言われる多くの除外例を含むモデルの場合、モデルの間の良否を判定する基準についての研究は今後の課題が多い。
一方、拡張された半群、Cーsemigroupの研究、sample pathの空間ととて基礎となる連続関数の空間のある部分空間の特徴づけの研究などで進展をみた。
また、グラフ理論との関連でkhotsやlinksについての研究でもいくつかの進展をみた。

【研究種目】一般研究(C)

【研究期間】1990 - 1991

【配分額】800千円 (直接経費: 800千円)