【研究領域課題番号】21H00988 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

特異確率偏微分方程式 / 確率微分方程式 / 確率量子場モデル / マリアヴァン解析 / ディリクレ形式 / 構成的場の理論 / 確率量子化 / マルコフ過程 / ラフパス理論 / 確率偏微分方程式

【研究成果の概要】

2021年度は主に、自己相互作用をもつポリマー測度の構成についての研究を行った。このモデルはΦ4量子場モデルと関係があることが知られていて、実際に同じような繰り込みを通じて確率量子場が構成できることが知られていた。このモデルの研究に取り組むことにしたのは、この類似性を用いて以前から行っているΦ4モデルの研究に役立てたいと考えたからである。このポリマー測度の研究は、この話題の専門家と共同で研究を進めていて、現在は３次元の場合のディリクレ形式の構成を目標にしている。これは数十年前にある数学者が亡くなったことにより中途半端な状況で止まっていた先行研究を完成させようというものである。最終的には最近盛んに行われている特異確率偏微分方程式によるアプローチを目指している。
ポリマー測度の研究とは別に、特異確率偏微分方程式における議論に対して、従来の確率解析で行われている議論との違いを明確にするという研究も行った。この研究では、性質の悪い具体的な確率微分方程式を例に挙げ、特異確率偏微分方程式における議論を適用できて良い確率微分方程式の列で近似ができるが、極限の確率過程がマルコフ性を持つが強マルコフ性を持たなかったり、時間局所解の一意性があり、全ての解が時間大域的に拡張可能であるが時間大域解の一意性が無いということが起こり得ることを示した。この話題についてはまだ不明確なことが多く、引き続き研究を行う予定である。
また、前研究課題における研究成果で2020年度に投稿していた論文に対して、査読結果のコメントに応じた修正及び拡張のための研究も行った。これらはΦ4モデルや指数的な相互作用を入れた確率量子場の確率量子化方程式に対する研究であり、投稿論文のうちの１つは学術誌への掲載が決まり、他の論文も掲載決定が期待できる段階に至った。

【研究種目】基盤研究(B)

【研究期間】2021-04-01 - 2026-03-31

【配分額】16,900千円 (直接経費: 13,000千円、間接経費: 3,900千円)

【研究領域課題番号】20K03639 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

確率論 / 確率解析 / 確率偏微分方程式 / 大域解析学 / 離散幾何解析 / マリアヴァン解析 / Dirichlet形式 / 大域解析

【研究成果の概要】

今年度も引き続き, 研究分担者の楠岡 誠一郎, 星野 壮登 両氏と共に, (2次元トーラス上の)exp(Φ)_{2}-量子場の確率量子化方程式の研究を電荷定数の条件をL^{1}-regimeの下で行った。昨年度までに, exp(Φ)_{2}-量子場を不変測度とする拡散過程を白色雑音が駆動する特異確率偏微分方程式の強解として直接構成し, Dirichlet形式から得られる拡散過程と一致することを示しており,論文を海外専門誌に投稿していたが, レフェリーとの複数回にわたるやりとりを通して, 論文の内容 (特に, 一般のFourierカットオフ作用素を用いたGauss乗法カオスの概収束性)も改良され, 今年度末に採択された。この成果は数理解析研究所講究録から概説論文としても出版された。さらには重みつきのexp(Φ)_{2}-量子場の確率量子化方程式に対する近似解のtightnessに関する論文も出版された。これらの成果についての口頭発表は, いくつかの(オンライン)研究集会で研究分担者により行われた。
その一方で, コロナ禍が長引き, 共同研究者達との対面での研究連絡に支障が生じた。特に量子場の離散幾何解析的な研究に関する議論であるが, 問題の枠組みをどう設定するかというところでまとまりきっていない。来年度には対面による研究連絡をできるだけ多く行い, この方面でも更なる進展が得られることを期待したい。

【研究種目】基盤研究(C)

【研究期間】2020-04-01 - 2023-03-31

【配分額】4,290千円 (直接経費: 3,300千円、間接経費: 990千円)

【研究分野】解析学基礎

【研究領域課題番号】17K05300 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

確率論 / 確率解析 / 確率偏微分方程式 / ラフパス理論 / 離散幾何解析 / マリアヴァン解析 / Dirichlet形式

【研究成果の概要】

無限次元空間上のある微分作用素の一意性問題および対応する確率過程の構成の研究を主に行った。特に, 場の量子論のexp(Φ)_{2}-モデルに現れる超関数空間上のGibbs測度を可逆測度としてもつDirichlet作用素の一意性を証明し, 対応する拡散過程を特異確率偏微分方程式の一意強解として特徴付けた。またベキ零被覆グラフ上の非対称ランダムウォークに対する2種類の汎関数中心極限定理を, 離散幾何解析およびラフパス理論を融合することで証明した。

【研究の社会的意義】

近年の特異な確率偏微分方程式の理論の進展により, 無限次元空間上の確率解析と場の量子論の数学的研究の融合が進んでいるが, 本研究で得られた成果は, その中でも中心的なexp(Φ)_{2}-モデルの数学解析における基礎定理である。またベキ零被覆グラフ上のランダムウォークの中心極限定理に関する成果であるが, 確率微分方程式の解の離散近似とも解釈できるので, 確率数値解析への波及も期待できる。

【研究種目】基盤研究(C)

【研究期間】2017-04-01 - 2022-03-31

【配分額】4,550千円 (直接経費: 3,500千円、間接経費: 1,050千円)

【研究分野】解析学基礎

【研究領域課題番号】26400134 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

確率解析 / 微分作用素 / 中心極限定理 / 確率偏微分方程式 / rough path理論 / 結晶格子 / ベキ零被覆グラフ / ランダムウォーク / 確率論 / 一意性定理 / 離散幾何解析 / ラフパス理論 / マリアヴァン解析

【研究成果の概要】

無限次元空間上のある微分作用素の一意性問題および対応する確率過程の構成の研究を主に行った。特に, 場の量子論のexp(phi)_{2}-モデルに現れる超関数空間上のGibbs測度を可逆測度としてもつDirichlet作用素の一意性および対応する拡散過程の(特異な)確率偏微分方程式を用いた特徴付けを研究した。また結晶格子やベキ零被覆グラフ上の非対称ランダムウォークに対する中心極限定理を, 離散幾何解析の観点から研究し, ラフパス理論への応用も考察した。さらに, 抽象Wiener空間上のGauss測度全体のなす多様体の研究も行った。

【研究種目】基盤研究(C)

【研究期間】2014-04-01 - 2017-03-31

【配分額】4,810千円 (直接経費: 3,700千円、間接経費: 1,110千円)