【研究領域課題番号】18KK0072 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

流体方程式 / 関数解析 / 調和解析 / 実解析 / 微分幾何

【研究成果の概要】

小薗-柳沢-清水は, Hieber教授, Seyfert博士との共同研究で, 3次元Euclid空間内の滑らかなコンパクトな曲面を境界に持つ外部領域において，Lr-ベクトル場のde Rham-Hodge-Kodaira型分解定理を考察した．ベクトル場の境界条件は境界に接するものVrと直交するものXrの2種類を対象とした．まず, これらの調和ベクトル場の空間が共に有限次元であることを示した．有界領域の場合と異なり空間Vrに関しては，領域の位相幾何学的な不変量（Betti数）と可積分指数rによって異なることも明らかにした．また任意のLr-ベクトル場が，調和部分とベクトルポテンシャル，スカラーポテンシャルのそれぞれの回転と勾配の和で表現できる分解定理を証明した．その分解の一意性の可積分指数r=2/3およびr=3を閾値として正当化されることを明らかにした．続いて, 3次元外部領域の境界が有限個の滑らかな閉曲面を連結成分にもつとき，それぞれの閉曲面上で境界条件を与えた場合に定常Navier-Stokes 方程式に解が存在するかという問題を考察した．境界データを領域全体のソレノイダルベクトル場に拡張し, その調和部分が十分小さいならば弱解が少なくともひとつ存在することを証明した．筒井は,n次元Euclid空間で外力項付きの非圧縮粘 Navier-Stokes 方程式を弱Ln 空間で考察し,弱解が強解となるための条件と, Stokes半群が初期時刻で強連続となるベクトル場の特徴付けを与えた. 高田は, 3次元無限層状領域における回転Navier-Stokes方程式の初期値問題を考察し，スケール臨界なSobolev空間における時間大域的適切性を証明した．回転速度を無限大とする特異極限において，同方程式の時間大域解が2次元Navier-Stokes方程式の時間大域解に収束することを証明した．

【研究種目】国際共同研究加速基金(国際共同研究強化(B))

【研究期間】2019-02-07 - 2023-03-31

【配分額】17,680千円 (直接経費: 13,600千円、間接経費: 4,080千円)

【研究領域課題番号】18KK0073 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

分散方程式 / 漸近解析 / 調和解析 / 変分解析 / 函数解析

【研究成果の概要】

当該年度も引き続きCOVID-19の影響により、研究代表者・分担者・協力者がピサ大学および早稲田大学に集まることは叶わず、研究遂行上に大きな支障となった。しかし、このような状況下でも、オンライン会議を用いて進捗状況・途中経過・部分的成果等を共有し、活発に意見交換を行うとともに、今後の研究の方向性について検討を重ねることで、一定の成果を得る事ができた。具体的に述べると、次の通りである。
楕円型方程式の解析の基礎を支えるポワンカレの不等式に関しては、等式の枠組で定式化し、その剰余項を用いた最大化函数の非存在の新しい証明を与えた。
トーラス上の非線型シュレディンガー方程式に関しては、今までほとんど取り上げられていなかったゲージ不変でない二次の自己相互作用の研究に着手し、一次元トーラスの結果の多次元化を進めている。手始めに、二次元の問題について、大域解の非存在につながる初期データのクラスについての部分的な結果が得られたので、引き続き一般化を検討する計画である。
量子マスター方程式に関しては、「マクスウェルの悪魔」と呼ばれる現象の新たな定式化に、この方程式の解析が有効であることを見出し、電流制御の視点から理論体系を完成させた。
流体の速度場を記述するブリンクマン・フォルシュハイマー方程式系として知られている二重拡散移流方程式系に関しては、3次元および4次元の全空間において、時間周期解の存在を示し、考える領域の有界性が本質的でないことを実証した。

【研究種目】国際共同研究加速基金(国際共同研究強化(B))

【研究期間】2018-10-09 - 2023-03-31

【配分額】17,810千円 (直接経費: 13,700千円、間接経費: 4,110千円)

【研究分野】基礎解析学

【研究領域課題番号】19340032 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

解析学 / 関数解析学 / 確率論 / 表現論 / 調和解析 / 表現の指標 / 対称群 / ヤンググラフ / 環積 / 無限対称群 / 漸近挙動 / 指標 / 量子確率論

【研究成果の概要】

巨大な群上での調和解析の展開に向けて、確率論と表現論の融合的な研究を推進した。調和解析とは、事物の対称性に着目することによって深い数学的構造を見出し、それに立脚した解析を行う学問分野である。本研究では、無限自由度をもつ大規模な対象を扱うため、その対称性を記述する群として巨大な群が現れる。得られた成果の中で最も主要なものは、(i)調和解析の素子となる指標と呼ばれる関数の分類と具体形を与える公式、および(ii)群の表現の漸近挙動と確率論の極限定理をつなぐ一連の結果である。

【研究種目】基盤研究(B)

【研究期間】2007 - 2010

【配分額】14,040千円 (直接経費: 10,800千円、間接経費: 3,240千円)

【研究分野】基礎解析学

【研究領域課題番号】18340043 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

実解析 / 調和解析 / 関数空間 / 直交級数 / 特異積分 / ハーディー空間 / ハーディ空間 / モデュレーション空間 / シャッテンクラス / ハウスドルフ作用素 / 重み付き関数空間 / 擬微分作用素 / フレーム / 関数解析 / 時間周波数解析 / シャッテン族 / モデユレーション空間 / ラドン変換 / ペーリーの不等式 / ハンケル変換 / ウェーブレット / 最大関数 / 変動指数ルベーグ空間 / 交換子作用素 / フーリエ乗子 / 重み付き評価 / 直交関数

【研究成果の概要】

フェファーマン-スタインによるハーディー空間と同様の性質を持つ関数空間をユークリッド空間の領域上に導入し,その性質を確立した.この関数空間は,或る条件をみたす微分同相写像の定める変数変換によって,同種の関数空間に変換されるという性質を持つ.この関数空間を古典的直交級数の研究に応用した.時間周波数解析など実関数論的調和解析に現れるいくつかの関数空間の性質を調べ,それらの空間での作用素についての結果を得た.

【研究種目】基盤研究(B)

【研究期間】2006 - 2009

【配分額】15,130千円 (直接経費: 12,400千円、間接経費: 2,730千円)

【研究分野】解析学

【研究領域課題番号】06640226 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

非線形偏微分方程式 / 関数解析 / 作用素の半群 / 作用素り分数巾 / 軸間空間論 / 調和解析

【研究成果の概要】

Navicr-Stokcs方程式の外部問題は、内部問題と比較して、単に取り扱いがより複雑であるというとには留まらず、解の無限遠方での漸近挙動の与え方により、方程式の適切性が著しく異なるので、大変興味深い結果が得られた。「境界で静止しかつ無限遠方で一定の速度で動くようなStokcs方程式の解は存在しない」という有名なStokcsのパラドックスはその典型である。本研究では、このパラドックスがStokcs作用素A^1を一階の偏導関数がr-乗可積分(∇u∈L´)であるhomogeneous Sobolev空間において考察し、その核が自明なものに限るか?という問題と同値であることに着目し、2次元だけではなく多次元においても同様なパラドックスが成り立つことを証明した。この事実はNavicr-Stokcs方程式の外部問題を線形Stokcs方程式の摂動として捉えることの限界を示している。実際、A^1が全単射である必要十分条件は3次元外部領域の場合、3/2<r<3であることは特異な現象を生じることが解明された。すなわち、∇u∈L^<3/2>なる解が存在するための必要十分条件は領域Ωの境界Γによるdrag forccがゼロ“∫r Dcf u・v dS=O"である。ここにDcf uは速度場uによるdcformation tcnsorであり、vは境界Γの単位法線ベクトルである。一方、Navier-Stokcs方程式はスケール則があり、上記の∇u∈L^<3/2>なるクラスはスケール変換で不変な関数空間である。従ってこの空間で解を求めることは重要である。いささか物理的には不自然であるが、このクラスの安定性を示すことに成功した。その際、代表者による関数空間の以前の研究が大きな役割を果たした。

【研究種目】一般研究(C)

【研究期間】1994

【配分額】2,000千円 (直接経費: 2,000千円)