【研究分野】哲学・倫理学

【研究領域課題番号】17H02263 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

数学の哲学 / 計算の哲学 / 数学基礎論 / 論理学の哲学 / 証明論 / 集合論 / 数理論理学 / 哲学

【研究成果の概要】

現代の数学の哲学には (1) 数学の算術および集合論への還元，(2) 一階論理上での集合論の公理化，(3) 一階論理による証明概念の形式化，(4) チューリング機械による計算可能性の特徴付けという[四つの原理]がある．本研究はこの［四つの原理］と現代の[標準的数学観]の関係，［四つの原理］とそれらの相互の関係をに検討することで，数学の哲学の新たな展開と，計算・推論・情報の概念の哲学的解明を目指すものである．2020年度中は新型コロナウイルス感染症の拡大の影響のため研究会やワークショップの開催ができなかった．そのため，2020年度中は分担者の個人研究及び共同研究によって研究を実施し，以下の成果を得た．(1) 意味論と価値論の関係，システムの概念の分析を行なった．特に，意味論と構文論の関係と主観と客観の関係の同型性，要素・全体・環境という三層構造における機能の概念に基づくフレーゲの文脈原理および合成原理の再解釈を行なった．(2) PRA 証明論，証明論的順序構造と項書き換え系，図的情報提示の論理デザインのための社会心理学的調査，線形論理の観点による存在論的 TM 意味論研究，デフォルト推論の意味論と computer security への応用を考察した．(3) 直観主義論理（あるいはそれよりさらに弱い最少論理）に特殊な命題定項を加えた拡張言語への強い論理（古典論理等）の埋め込みについて議論した．(4) フレーゲの関数概念とラムダ抽象の関係の再考を行ない，フレーゲの関数概念には表現におていも内容においても未熟で不整合な点があることについて議論した．

【研究種目】基盤研究(B)

【研究期間】2017-04-01 - 2022-03-31

【配分額】16,640千円 (直接経費: 12,800千円、間接経費: 3,840千円)

【研究分野】数学基礎・応用数学

【研究領域課題番号】25400193 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

証明論 / 数学基礎論 / collapsing

【研究成果の概要】

weakly compact cardinalをMahlo operationsの繰返しで捉えた。ZF集合論でその存在が証明できる可算順序数の限界をMostowski collapsingの繰返しで記述した。集合上で多項式時間計算可能関数を生成する計算規則を考案し、対応する公理系を導入した。直観主義論理上での不動点の存在は保存拡大になることを証明した。順序数上の正則関数の微分の整列順序原理と可算モデルの存在との関係を明らかにした。最小の非可算基数の集合論でのカット消去を有限的手続きで証明した。自然数上の最小不動点の公理系の諸断片の可述的なものの境界線を確定した。

【研究種目】基盤研究(C)

【研究期間】2013-04-01 - 2018-03-31

【配分額】4,550千円 (直接経費: 3,500千円、間接経費: 1,050千円)

【研究分野】数学一般(含確率論・統計数学)

【研究領域課題番号】20340020 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

数学基礎論 / 証明の長さ / 集合論の証明論 / 証明論 / 集合論

【研究成果の概要】

主として集合論の公理系を証明論的に研究した。集合論は数学がよっ て立つ基盤であり、そこでの証明を何回、どのような操作を繰り返して分析できるのかを考察 した。集合の公理とは集合に関して正しいと現在考えられている命題の集まりを指す。証明は 集合論に限らず、数学では欠くことのできない行為である。そのような数学での基礎的な対象 について知見を深めた。

【研究種目】基盤研究(B)

【研究期間】2008 - 2012

【配分額】9,100千円 (直接経費: 7,000千円、間接経費: 2,100千円)

【研究分野】数学一般(含確率論・統計数学)

【研究領域課題番号】17540115 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

証明論 / 数学基礎論 / 数理論理学 / 順序数 / イプシロン代入法

【研究成果の概要】

イプシロン代入法に関しては、帰納的マーロ順序数と弱コンパクト基数の帰納的類似物について研究を行った。その他、証明論全般についての考察や計算量理論と関連する研究も行った。

【研究種目】基盤研究(C)

【研究期間】2005 - 2008

【配分額】2,740千円 (直接経費: 2,500千円、間接経費: 240千円)

【研究分野】数学一般(含確率論・統計数学)

【研究領域課題番号】09440072 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

論理構造 / 計算論 / 型理論 / 形式算術 / 2階算術 / 逆数学 / 限定算術 / ラムダ計算 / ロジック / 証明論 / 算術のモデル / 数学基礎論

【研究成果の概要】

本研究の実施計画に従って,研究代表者と研究分担者は相互に緊密な連絡を取り合い,また研究集会での発表や討論を通して,算術と計算の論理構造に関する研究を行った.主な研究成果を研究者毎にまとめると、以下の通りである。
田中一之は,数学の定理を証明するのにどれくらい複雑な集合が必要かという問題(逆数学)を研究した.逆数学においてとくに重要とされる2階算術の体系WKL_0に対して,その可算モデルの性質を分析することで,山崎武らと共に新しいメタ定理を得た.赤間陽二は,計算の停止性の概念に興味を持ち,関数型言語から派生する値呼びλ計算,名前呼びλ計算,Turnerのλ計算などにおいて,停止性を持つ項の特徴づけを行った.また,組合せ論理に対する型理論を導入し,組合せ論理の停止性を持つ項を特徴づけた.宝来(高橋)正子は,高階論理体系と高階型理論の関係を研究した.また,自由構造上の計算可能性とλ表現可能性について考察した.安本雅洋は,限定算術(Bounded arithmetic)の超準モデルMのブール値拡大M^B,およびgeneric拡大M[G]の構造に関する研究を行った.龍田真は,D-正規証明の概念を提案し,この概念を用いて構成的命題論理における正規証明の唯一性に関して次の結果を示した.(1)βηD-正規証明は唯一である.(2)PNN条件を満たす論理式のβη-正規証明は唯一である.(3)BCK論理における極小論理式のβη-正規証明の唯一性の別証明を与える.長谷川立は,解析関手の理論計算機科学への応用を研究した.鹿島亮は,含意のみを論理記号とするrelevant logicの証明論および意味論の研究でいくつかの重要な成果を得た.

【研究種目】基盤研究(B)

【研究期間】1997 - 1999

【配分額】13,900千円 (直接経費: 13,900千円)

【研究分野】数学一般

【研究領域課題番号】61302010 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

数理論理学 / 数学基礎論 / 証明論 / 集合論 / 模型論 / 構成的数学 / 帰納論 / 超準解析 / 数学史 / 超準解析数学史

【研究成果の概要】

本研究では、以下のとおり、五つの研究班を組織した。各班は互に情報交換を行ない、随時研究集会を開き、研究発表、討論を行なった。以下に各班毎に、主な研究成果を列参する。
I班(証明論・方法論):弱いinductive definitimを持ったanthmeticとordinalの関係が明らかにされた。Peame arithmetic及びその部分体系におけるreflection principleや,Paris-Harrinton principleとそれと同等の命題に関する結果が得られた。fundamental sequencesのbuilt-up systemの一般化が得られた。
II班(集合論・模型論):modalityを有する集合論とintemsimalityを有する集合論が提出された。アーベル群の構成と巨大基数との関連付けがなされた。W-stable ringsの諸性質があきらかにされた。
III班(構成的数学・一般帰納論):Fuzzy計算可能性の理論が作られた。Beesonの体系RRSの無矛盾性証明がなされた。証明論的汎関数の二階建て理論が作られた。
IV班(論理構造論):中間述語論理での量化子による様相演算子の解釈が得られた。構造規則を一部分しか持たない論理について、そのシンタクスとセマンディクス、及びラムダ計算やカテゴリー文法とその関係が統一的に論じられた。
V班(超準空間論):非有限論理での無限小微積分の解釈がなされた。iterated polynomialに関する超準解析における種々の性質が明らかにされた。Hilbertの既約性定理に関し、Z-Jfが有限なるための条件が与えられ、その限界が多項式として与えられることが示された。一つの超準集合論の中で、NST、TST、NATE、NS_2、*NSTの五種類の超準集合論のモデルが存在することが示された。

【研究種目】総合研究(A)

【研究期間】1986 - 1988

【配分額】9,300千円 (直接経費: 9,300千円)