1.統計解の研究
非線型波動方程式 v=u',v'ー△u+|u|^fu+u=fを〓^uの任意の領域Ωで考える。ここでP>0,f〓L^2([O,T]×Ω)とする。
H^^°^1〓L^P【○!+】L^2(P=P+2)上の確率測度μで“平均エネルギ-"有限即ち,〓H(u_0,v_0)dμ(u_0,v_0)<∞,H(u_0,v_0)=1/2(||u_0||^^2H_1+||v_0||^^2+1/P||u_0||^PL^P)を与えたとき,Z=C(0,T:L^2【○!+】H_<ー1>+L^<P'>)〓L^<Pー1>(0,T;L^2〓L^<Pー1>【○!+】H_<ー1>)上のボレル測度P,P(2)=1(ここで1/P+1/P'=1)で
1ﾟZのボレル集合WでP(W)=1かつWの元はすべて上記方程式の弱解である。
2ﾟγ_0P=M,但しγ_0はu→u(0)で定まる写像
3ﾟ(エネルギ-不等式) あるC>0が存在して
〓(||u||^2L^∞(0,T;H^^ﾟ_1〓L^P)+||v||^2L^∞(0,T;L^2)+||u||^PL^∞10,T;L^P)+||v'||L^2(0,T;H_<ー1>+L^<P'>))dP
【less than or equal】C〓(1+H(u_0,v_0))dμ
となるもの(μを初期値とする統計解)が構成できた。またf=0の場合には上のZの代りにC(ー∞,∞:H_<ー1>+L^<P'>【○!+】L^2)〓L^<Pー1>_<COC>(ー∞,∞:L^2〓L^<Pー1>【○!+】H_<ー1>)を考えることにより(統計的)定常解,即ち時間のシフトで不変なものがえられる。
2.研究分担者による関連した研究として菊地の静電磁場の方程式の
有限要素法による解析,谷島の時間について周期的なシュレディンガ-方程式の準定常状態の指数函数的減すい,北田の多体問題に関する変動作用素の漸近的完備性(ポテンシアルがlongーraugeの場合とshortーraugeの場合),山本のある種の二階常微分方程式に関する逆問題,非線型放物型方程式の制御,抽象的発展方程式に関する同定問題,Feedback Systemの安定性,非消散双曲型方程式のFeedback安定化,などがある。