Discovery Sagaサイレントキーワード俯瞰

モンテカルロ法 / レビー過程 / マリアバン解析 / 分散減少法 / 数値解析 / 確率数値解析 / 確率論 / モンテカルロ分散減少法 / 確率微分方程式弱近似 / 金融工学 / 感応度分析 / 無限分解可能分布

1. レビー過程のサンプルパス発生には、レビー過程を構成する全ジャンプを発生させる確率数列表現法を用いる方法があります。まずレビー過程の固定時刻分布である無限分解可能分布の確率数列表現法と準モンテカルロ法との相性についての研究を遂行し、"Quasi-Monte Carlo method for infinitely divisible random vectors via series representations"という題名の論文を完成し投稿しました。さらにレビー過程、ジャンプ型確率微分方程式における確率数列表現法への発展を現在模索しており、これら一連の研究成果はレビー過程の実用に貢献するものと期待できます。
2. ジャンプ型確率微分方程式に関連する期待値の計算においては、サンプルパスを近似的に発生させるオイラー法が主流となっているが、生成作用素とディンキン公式をもとに数理計画法を用いて期待値の上界下界を算出する方法を昨年度提案しました。今年度はさらに確率微分方程式の固定時刻分布が安定分布のような裾の厚い分布である場合にもexponential temperingを施すことで対応できることを示し、"A weak approximation of stochastic differential equations with jumps through tempered polynomial optimization"という題名の論文を完成し投稿しました。さらに、これらの研究成果をもとに、中間時点や別の初期地点に関する期待値算出、また初期地点が確定的でない場合においても当該手法が適用可能であることが判明し、研究成果を論文として現在執筆中です。

確率微分方程式 / レビー過程 / マリアバン解析 / 準だ円性条件 / 加法過程 / 準だ円性 / ストカスティック・フロー / p-進体 / ランダム・ウオーク

ブラウン運動に基づく確率微分方程式については、詳細な研究があり、解の分布が滑らかな密度関数を持つための条件がMalliavin解析を用いて明らかにされた。本研究では、レビー過程に基づく飛躍のある確率微分方程式に重点をおき、方程式の解の分布が(滑らかな)密度関数を持つための条件を調べた。方程式としては、有限個のベクトル場とその個数と同じ次元を持つレビー過程で生成される標準型確率微分方程式を取り上げた。まずベクトル場及び加法過程が共に非退化である場合に、方程式の解の分布は滑らかな密度関数を持つことを示した。次にベクトル場が退化している場合でも、そのベクトル場から生成されるリー代数がHormanderの準楕円性条件を満たせば、解の分布は密度関数を持つことを示した。これらの結果は、ベクトル場とブラウン運動で生成される確率微分方程式に関して、Malliavin,Kusuoka-Stroock達が1980年代初期に得た結果を、飛躍のある方程式へ拡張したものである。
証明にはWiener空間上のMalliavin解析を、Wiener空間とPoisson空間の直積空間上に拡張する必要がある。報告者は、Picardが展開したPoisson空間上のMalliavin解析とWiener空間上のMalliavin解析を結合して、直積空間上の確率変数の分布が滑らかな密度関数を持つための判定条件を得た。結果はWiener空間上のMalliavinの判定条件(Malliavin共分散が可逆且つ行列式の逆数がp乗可積分)及びPoisson空間上のPicardの判定条件を含んでいる。その判定条件を飛躍のある確率微分方程式の解に応用することによって、解の分布の密度関数の存在を示した。

【研究分担者】
安田久美 (安田公美)	九州大学	大学院・数理学研究科	助手	(Kakenデータベース)
杉田洋	九州大学	大学院・数理学研究科	助教授	(Kakenデータベース)
谷口説男	九州大学	大学院・数理学研究科	助教授	(Kakenデータベース)
深井康成	九州大学	大学院・数理学研究科	助手	(Kakenデータベース)