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確率解析 / マリアヴァン解析 / Rough Path理論 / 微分作用素 / 一意性問題 / Riesz変換 / 経路空間 / Gibbs測度 / 一意性定理 / rough path理論

無限次元空間上のヘルマンダー型微分作用素および対応する確率過程について、マリアヴァン解析、Rough Path理論、確率偏微分方程式、Dirichlet形式を用いて研究を行った。このうち経路空間上のGibbs測度に関するRiesz変換の成果の一部は論文として出版された。また以前の微分作用素の一意性問題の研究の枠組を拡張することにより、この問題の理解をさらに深めることができ、微分作用素の一意性だけでなくDirichlet形式のアプローチから確率偏微分方程式の一意な強解を構成することができた。この成果は国内外の研究集会で発表され、論文は専門学術誌に投稿中である。また、ループ空間上のブラウン運動を例とする無限次元確率過程に関する振動型汎関数積分の漸近挙動を、Rough Path理論とマリアヴァン解析を組み合わせて研究し、今後の研究の方向性をつかんだ。

確率解析 / rough path理論 / マリアヴァン解析 / Riesz変換 / Littlewood-Paley-Stein不等式 / 経路空間 / Gibbs測度 / ラプラス型汎関数積分 / 漸近展開 / ヘルマンダー作用素

今年度は主に、Riesz変換に関する研究を行った。これは解析学、確率論、幾何学にまたがる重要な研究分野である。まず以前の御代川知宏氏との共同研究では調和解析で重要なLittlewood-Paley-Stein不等式が一般の距離空間上にて成立することを確率解析的なアプローチで論じたわけだが、証明のギャップを埋め、J. Math. Sci. Univ. Tokyoに出版させることができた。これと昨年度出版された二階微分作用素の本質的自己共役性に関する成果を組み合わせることにより、Gibbs測度を参照測度とする経路空間上のRiesz変換の有界性を得ることができた。証明のあらすじは、今年度R工MS講究録別冊に出版された論文の中に述べられている。詳細を述べた論文は現在準備中である。またこれらの成果の総合報告として、2007年9月に東北大学にて開催された日本数学会の統計数学分科会にて特別講演を行った。この研究は将来、場の量子論などに現れる無限次元空間上の微分作用素の準楕円性などをを議論する際に必要不可欠なSobolev空間理論の構築の第一歩であり、今後も継続していきたいと考えている。
また昨年度の研究の続きとしてバナッハ空間値の伊藤汎関数に関する振動積分型汎関数積分の研究を開始したが、そこではrough path理論だけでは不十分で、マリアヴァン解析を組み合わせる必要性の認識を得た。これからの知見に基づく無限次元空間上のマリアヴァン解析の応用およびrough path理論に関する研究は、これからの課題として今後も続けて行きたいと考えている。