Discovery Sagaサイレントキーワード俯瞰

アバンダンス予想 / ファノ型多様体 / 大域的F正則多様体 / 正標数還元 / F-正則多様体 / 対数的ファノ多様体 / 反標準因子 / 有理連結ファイブレーション / MMP / 大域的正則F多様体 / フリップ / log Fano / log Calabi--Yau / log canonical / klt / BAB予想 / アバンダンス / Fano / Calabi--Yau / log Fano多様体 / 正標数上の代数幾何学 / 川又対数的端末特異点 / 自己準同型射 / log Calabi--Yau多様体 / 極小モデル理論 / カラビ・ヤウ / ファノ / 正標数 / 自己準同形射

正標数還元手法の研究として、主にファノ型多様体、カラビ・ヤウ型多様体。大域的F正則多様体、および大域的F分裂多様体の研究を行った。前者の二つは極小モデル理論における基本ピースに現れる多様体で、後者の二つは正標数の基礎体上で定義されるフロベニウス写像によって定義される多様体である。この前者と後者は正標数還元により行き来することが予想されている。この研究費での研究期間中の主要な成果はこの予想に関する部分的解決と後者の多様体たちに対する正標数上の極小モデル理論的な観点からの研究である。

正標数還元手法は、標数０の代数幾何学において、非常に有効な技術として認識されており、解析的手法とならんで、その手法の応用は非常にインパクトがある。
正標数上の極小モデル理論の研究は標数0上の研究の延長としても非常に重要な研究であり、最近F特異点の研究が正標数上の極小モデル理論の研究に応用されていることから踏まえても、本研究の学術的意味は非常にあったといえる。また正標数上の代数幾何学の社会への応用としては暗号理論をはじめとする様々の分野ですでに確立されているので、本研究はその点における将来的な社会的貢献は十分に可能性がある。

非消滅定理 / 代数多様体 / 極小多様体 / 半正値性定理 / 藤田予想 / 対数的標準因子 / 消滅定理 / フリップ / 極小モデル / 導来圏 / モジュライ / 特異点 / 層 / オービフォルド / 固定点自由化定理 / ホッジ構造 / 可逆層 / 標準因子 / KLT / 非消滅予想 / 線型系

まず,完備な正規代数多様体Xとその上の可逆層Lに対して,次のような効果的非消滅予想を考えた:「X上のR因子Bがあって,対(X.B)はKLTであるとし,Lはネフで,さらにL-(K+B)はネフかつ巨大であるとする.このとき,LはOではない正則大域切断を持つ.」そして,Lの数値的小平次元が2以下の場合や,Xが3次元の極小多様体や4次元のファノ多様体の場合に,これを証明した.証明の過程で,以前に証明した代数的ファイバー空間における半正値性定理を対数的な場合に拡張した.以前証明した対数的標準因子の関係式とあわせると,ファノ多様体の梯子の存在などに応用できる.
次に,藤田の自由性予想を一般次元で解決することを目指して,藤田予想の相対版を考えた.そして,相対化した藤田予想も絶対版の場合と同じように対数的標準因子の存在に関する局所的な予想から従うことを証明した.特に,底空間の次元が4以下ならば相対化した予想も正しいことが証明された.この結果を証明するために,ホッジ構造の変形を使って層F上に放物構造というものを定義し,それを使ってFに対するQ因子版の消滅定理の精密化を得た.
さらに,導来圏の理論と層のモジュライの理論を使った新しいアプローチによるフリップの存在問題の研究をした.まず,フリップの存在予想がフロップの存在予想に帰着されることを証明した.また,商特異点を持つ多様体の場合にはフロップによって通常の層の導来圏は必ずしも不変ではないことを示し,そしてそれに代わるものとして,オービフォルド層の導来圏というものを導入し,いくつかの例ではこれを考えればすべてうまくいくことを証明した.

【研究分担者】
寺杣友秀	東京大学	大学院・数理科学研究科	助教授	(Kakenデータベース)
織田孝幸	東京大学	大学院・数理科学研究科	教授	(Kakenデータベース)
桂利行	東京大学	大学院・数理科学研究科	教授	(Kakenデータベース)
小木曽啓示	東京大学	大学院・数理科学研究科	助教授	(Kakenデータベース)