流体力学の近代数学解析
【研究キーワード】
流体方程式 / 関数解析 / 調和解析 / 実解析 / 微分幾何
【研究成果の概要】
小薗-柳沢-清水は, Hieber教授, Seyfert博士との共同研究で, 3次元Euclid空間内の滑らかなコンパクトな曲面を境界に持つ外部領域において，Lr-ベクトル場のde Rham-Hodge-Kodaira型分解定理を考察した．ベクトル場の境界条件は境界に接するものVrと直交するものXrの2種類を対象とした．まず, これらの調和ベクトル場の空間が共に有限次元であることを示した．有界領域の場合と異なり空間Vrに関しては，領域の位相幾何学的な不変量（Betti数）と可積分指数rによって異なることも明らかにした．また任意のLr-ベクトル場が，調和部分とベクトルポテンシャル，スカラーポテンシャルのそれぞれの回転と勾配の和で表現できる分解定理を証明した．その分解の一意性の可積分指数r=2/3およびr=3を閾値として正当化されることを明らかにした．続いて, 3次元外部領域の境界が有限個の滑らかな閉曲面を連結成分にもつとき，それぞれの閉曲面上で境界条件を与えた場合に定常Navier-Stokes 方程式に解が存在するかという問題を考察した．境界データを領域全体のソレノイダルベクトル場に拡張し, その調和部分が十分小さいならば弱解が少なくともひとつ存在することを証明した．筒井は,n次元Euclid空間で外力項付きの非圧縮粘 Navier-Stokes 方程式を弱Ln 空間で考察し,弱解が強解となるための条件と, Stokes半群が初期時刻で強連続となるベクトル場の特徴付けを与えた. 高田は, 3次元無限層状領域における回転Navier-Stokes方程式の初期値問題を考察し，スケール臨界なSobolev空間における時間大域的適切性を証明した．回転速度を無限大とする特異極限において，同方程式の時間大域解が2次元Navier-Stokes方程式の時間大域解に収束することを証明した．
【研究代表者】