不連続Galerkin有限要素法の数学理論の新展開
【研究分野】数学基礎・応用数学
【研究キーワード】
不連続Galerkin法 / 有限要素法 / 楕円型方程式 / 放物型方程式 / 非線形問題 / 誤差解析 / 構造保存型数値解法 / 発展方程式 / 数値解析 / 有限体積法 / 不連続ガレルキン法 / 楕円型界面問題
【研究成果の概要】
有限要素法（FEM）と有限体積法(FVM)の長所を両立した高精度拡張版である不連続Galerkin法（DG 法）およびハイブリッド型のDG法（HDG法）に対して，その数学的基盤理論を確立した．特に，理論だけ作って応用は計算現場に任せる，という消極的な立場を超えるため，具体的な応用を設定した上で，要請される基礎理論の構築を行ったことが本研究の特徴である．具体的にはFEMやFVMでは困難の多い，異方拡散問題や数理生物に現れる非線形移流拡散，退化拡散問題，時間非定常問題に対して，構造保存（流束，正値性，エネルギーなど）と解析理論（実用的な意味での安定性と収束性など）を両立した計算手法を構築した．
【研究の社会的意義】
偏微分方程式の数値計算に基づくシミュレーションは，現代における最も強力な科学技術の一つであり，数学的な立場からの数値計算方法の研究（数値解析）は，これらの科学技術の屋台骨を支える基盤と言える．しかし，数学者と技術者では，研究の方向性が異なり，実際，経験に大きく依存した大規模計算によるスピード感ある研究に，数値解析の理論が追い付けてなかった．しかし，この溝を放置すれば，数学的方法における数学の不在に繋がり，発展は頭打ちとなるであろう．本研究は，数学理論のこの溝を埋めつつ，数値解析自体の更なる深化を実現した．
【研究代表者】