Discovery Sagaサイレントキーワード俯瞰

本研究の目標は二つある。一つ目は、従来より主として独立同一分布に従う観測データに基づくモデルにおいて研究されてきた、Bernstein の不等式等を用いたスタンダードな統計推測の理論を、確率過程モデルにおける理論に拡張する、ということである。この目標については、本年度は、その基礎となるさまざまな手法を一望する著書 "Martingale Methods in Statistics" の執筆を脱稿し、2021年11月に出版した。この分野の研究の礎となる著作であると自負しており、自分自身のみならず広く世界の研究者が今後研究発展に関与していく中で有益になると考えている。
二つ目は、Kolmogorov 以来の chaining や bracketing の手法を根本的に見直し、Bernstein の不等式等の使用を最小限にとどめ、主として確率解析における部分積分の公式や伊藤の公式を用いることにより、全く新しいタイプの最大不等式を導出することである。これはとても野心的な目標であるが、もし成功すれば、高次元統計学に画期的な進歩が期待されるものである。この目標については現在までのところ、当初予想していたものとは少々異なる形ではあるが、"Stochastic Maximal Inequality" と称する新しい不等式の証明に、2021年4月ごろ成功した。当初は独立した学術論文としての公表を予定していたが、ちょうど上述の著書の出版の時期と重なったっため、同書の Appendix に収録した。今後、高次元マルチンゲール理論の発展の基本ツールとして有用となるであろうことが期待される。